חייבת רק לכתוב שאני נורא אהבתי את הספר "חשבון להורים" - קניתי אותו וגם אמא שלי קנתה אותו בהשפעתי, קראתי אותו בהנאה רבה ולמדתי דברים חשובים.
מצער שהזנחתי אותו בשנים האחרונות - דווקא עכשיו כשאני רוצה ללמוד עם בנותיי חשבון - כדאי שאשוב לקרא אותו.

אשמח לקנות את הספר יד שנייה (או לקבל אם מישהו מוסר). מכיוון שיצא בהוצאת שוקן מחירו גבוה גם בשבוע הספר... @}

רון אהרוני הוציא ספר המשך: ״אלגברה להורים״. כבר מקריאת [url=http://www.scribd.com/doc/166625341/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94-%D7%9C%D7%94%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%9D]דוגמית מהספר[/url] שפרסם המו״ל, אני מתרשמת ולוקחת לי נקודות לתשומת לב. מומלץ.

אתמול הונחה תבנית חשיבות על הערך "חשבון להורים" בויקיפדיה העברית. משמעות התבנית היא שאם לא תוכח חשיבותו של הערך תוך שבוע, הוא יימחק. לי הערך (את רוב הטקסט שם, הוספתי אני) והספר נראים חשובים. אני לא יודע איך להוכיח את זה.

[u]קיבלתי במייל את המצגת הזו . אשמח לשמוע את דעתכם (בספרות 9 ו-7 נראה לי שנעשה נסיון להתאים את היוצא מן הכלל לכלל).[/u]
הנושא שנוי במחלוקת. הזרם המרכזי של המחקר ההיסטורי בנושא לא מכיר בגרסת הזוויות הפניקיות, כך שזו תיאוריה בין אלטרנטיבית לחתרנית. מתוך ויקיפדיה:

http://en.wikipedia.org/wiki/[po]Arabic numerals[/po]
[b]Common misconceptions[/b]
Despite evidence to the contrary, some folkloric explanations for the origin of modern Arabic numerals persist. While these hypotheses continue to propagate due to their seemingly well-constructed arguments, they were based entirely on speculation by individuals who, while genuinely intrigued by the subject, were either ignorant of the relevant archeological facts, or simply lived in an era preceding much of their modern rediscovery. One popular example of such myths claims that the original forms of these symbols indicated their value through the quantity of angles they contained.[11][12][13]

<לא נוקט עמדה, רק מביא את עמדת הזרם המרכזי>
<חובב מחלוקות היסטוריות ונרטיבים אלטרנטיביים חתרניים>

אני רוצה ללמד ילדה בכיתה ו' משוואות עם נעלם. מכירים אתר עם תרגילים בנושא?

קיבלתי במייל את המצגת [url=http://forums.ort.org.il/files/30/2534757/9094144.ppt]הזו[/url] . אשמח לשמוע את דעתכם (בספרות 9 ו-7 נראה לי שנעשה נסיון להתאים את היוצא מן הכלל לכלל).

[u]בעיני זו לא שיטה. אלו ספרים. וספרים מעולים[/u]
האם תסכימי לכתוב היכן ניתן לרכוש את החוברות של רון אהרוני ?
תודה רבה.

מכובדי,
אודה לכם על המלצות קריאה בנושא 'חשבון להורים' (בנוסף לספרו של רון אהרוני). האם אתם נעזרים גם בחוברות שלו ? מה דעתכם על החוברות לגיל הגן ?.
אשמח לקבל המלצות על דרך המאפשרת להורה לתמוך בתהליך הלמידה הטבעי של הילד.

טוב, האמת שביתי בת השלוש בהחלט מחברת במודע שאלות חשבוניות:
"אמא, כמה זה שלוש עוגיות ושתי אצבעות?"
והדרך שבה היא לומדת היא בהתנסות עצמית-בדיוק מה שהוא מציע בספר (מניחים על השולחן שלוש עוגיות, שולפים שתי אצבעות וסופרים).
נכון שבשלב זה אנחנו לא משתמשים בסימנים גרפיים, אבל אני בהחלט מאמינה שגם זה בוא יבוא.
הרי היא לא תמשיך לנצח לעשות חשבון ברמה של עד 10, נכון?

והעניין הוא שאני אישית כן "מלמדת". אולי אין שיעור חשבון, אבל אני כן מפנה את תשומת ליבה לדברים שונים, ובין היתר גם לדברים שאפשר לחשב.
(דוגמא: אמא, לר' יש ילדה אחת וילד אחד ונסיך אחד (=בן זוג. היא בתקופה הרומנטית שלה).
אני: אז כמה אנשים יש במשפחה שלהם?)

[u]רבים מהעקרונות בו מתאימים (מאוד) ללמידה בבית[/u]
[u]העניין של להתנסות בצורות שונות-[/u]
[u]הרעיון של לתת לילדים לחבר בעצמם שאלות מילוליות.[/u]
נכון ולא נכון.
אלה לא דברים שאני [b]עושה[/b] בבית, אלא הם [b]קורים[/b] מעצמם, מעצם הלמידה "על-הדרך".
הילדים כל הזמן מחברים שאלות מילוליות (בלי להכיר את הסימנים הגראפיי: + - *) כי הם מתיחסים למספרים כמיצגים כמויות של דברים, ולא כאל ציורים על הלוח או במחברת.

כלומר - אלה דברים יפים, אבל זה כמו להגיד "יש לי רעיון מצוין איך לשפר את הלמידה בבית הספר: בואו נאפשר לתלמידים להגיע באיזו שעה שהם רוצים, אחרי שהם מיצו את שנת הלילה שלהם. ככה הם יגיעו רעננים, ופתוחים ללמוד".

נכון [po]שחשבון להורים[/po] נכתב על למידה בכיתה,
ובכל זאת רבים מהעקרונות בו מתאימים (מאוד) ללמידה בבית.

למשל:
העניין של להתנסות בצורות שונות-
בבדידים, בחרוזים, באצבעות, באבנים-
הרי זה בדיוק מה שקורה כשלומדים בבית.

למשל:
הרעיון של לתת לילדים לחבר בעצמם שאלות מילוליות.

למשל:
זה שדואגים לבסס היטב כל שלב לפני שעוברים לשלב הבא (שזה בדיוק מה שקורה כשהילד לומד בקצב שלו)

אין לי כרגע עוד דוגמאות (קראתי את הספר מזמן, אולי הגיע הזמן לקרוא אותו שוב) אבל בגדול אני מתייחסת אליו כמו לכל ספר הדרכה או ספר מקצועי שאני קוראת:
אני קוראת את כולו, ועל כל דבר שואלת את עצמי:
האם זה מוצא חן בעיני?
האם אני רוצה ליישם את זה בעצמי?

מי אמר שחייבים לקבל או לדחות את השיטה במלואה?

אני פשוט זוכרת שקראתי את שניהם בסמיכות זמנים יחסית, והרושם שלי היה שהשקפותיהם החשבוניות דומות למדי, אם כי אצל אהרוני זה יותר עמוק ומלוטש (מאד אהבתי את החלק שעסק בחשבון בכתה א', פחות את החלק שעסק בחשבון בכיתות גבוהות יותר).
מה שכן, הפילוסופיה החינוכית מן הסתם שונה. ואולי לא כל כך, לא יודעת.
>סמדר, מניפה בידיה, מנופפת במרץ כדי להשיב את רוח האתר :-P<

קראתי את [po]הספר חשבון להורים[/po], ועוד לא חזרתי על הפרק הנ"ל של הולט.
תודה על התזכורת.
(אף אחד אחר לא מדבר?)

בינתיים - נכון. הדברים של אהרוני מתאימים לכתה ולא לבית.
עם זאת, יש לו כמה תובנות נאות על חשבון, שיכולות להוסיף להורים ביתיים שמתכוונם ללוות את ילדיהם בלימודי החשבון.

נו, ו...?

ברשותך, מודי, אני יוצאת להפסקה, עד שאקרא את [po]הספר חשבון להורים[/po] ואחזור על פרק החשבון של הולט מ-[po]בלמידה מתמדת[/po].

אני רואה סתירה לכאורה בין [po]הספר חשבון להורים[/po] ובין [po]בלמידה מתמדת[/po].

רון אהרוני מתאר וממליץ על שיטת לימוד בכיתה. הוא לא מתייחס כלל לחינוך ביתי, ומקבל את קיום הכיתה כמובן מאליו. מצד שני, הוא משתמש בכיתה ככלי לימודי. דיונים בכיתה הם חלק חשוב בשיטה ומופיעים במקום מרכזי בחוברות הלימוד. אני לא יודע איך ניתן ליישם שיטה זאת בבית, כשיש רק תלמיד אחד. אולי כשיש תלמיד אחד לא צריך את השיטה?

יש גם סתירה אחרת. אהרוני מדגיש את הצורך [b]ללמד[/b]. שאת לוח הכפל לזכור אותו בעל פה, וזה לא מגיע "סתם" צריך להשקיע זמן ומאמץ כדי ללמוד אותו. מישהי בדף טענה שההבדל הוא רק בזמן, ושג'ון הולט אומר שצריך ללמד, אבל רק כשהילד מבקש ללמוד. לא קראתי את ספריו, אבל מקריאה באתר זה לא בדיוק מה שהתרשמתי, והייתי שמח לשמוע דעות של מי שקרא את המקור.

ואפשר כמובן לשאול את אהרוני מה דעתו.

תודה [po]מ י כ ל[/po] , דליתוש ו [po]בר עדש[/po] על ההסבר, עוד סיבה לא לשנן נוסחאות @}

לא. יש 10 בחזקת n צירופים. לפי "שיטת הספירה" שהצגתי למעלה, המספר הנמוך ביותר הוא אפס, והמספר הגבוה ביותר הוא [עשר בחזקת n] פחות אחד. (במקרה של n=5 למשל המספר הגבוה ביותר הוא 100,000-1=99999 )

[u]איזה יופי של פתרון![/u]
:-]

גיא, האם זה 10 בחזקת n-1 ?

גיא, איזה יופי של פתרון!

הצרופים המותרים יכול להיות מיוצגים על ידי כל המספרים מ-0 עד 9999999999 (כאשר המספר 145 למשל מייצג את הרצף 0000000145). יש 10,000,000,000 (עשרה מליארד) מספרים כאלו: 9999999999 ועוד אחד עבור ה-0 (שמייצג את 0000000000).

אם כל ספרה יכולה להופיעה בכל מקום יותר מפעם אחת אז-
נראה לי שזה 10 בחזקת 10. במקום הראשון 10 אפשרויות כפול 10 אפשרויות במקום השני וכן הלאה..
ואז התוצאה היא 100,000,000,000 ואני לא יודעת איך קוראים למספר הזה..

דליתוש, זה 10 עצרת, רק אם אותה ספרה לא יכולה לחזור פעמים ברצף. במקרה של השטרות זה כן אפשרי.
(כלומר לדוגמא שלך צריך להוסיף את כל מקרי 331, 332, 313, 323, 133, 233, 333, ......)

רגע! סייג למציאות!
נדמה לי, שבכל הנוגע לשטרות, יש איזשהו טריק נוסף עם ענין רצפי הספרות, שנועד למניעת זיופים (אולי סכום הספרות צריך להתחלק באיזשהו מספר?). את זה לא לקחתי בחשבון.

אני חושבת שהנוסחא היא 10! (עצרת).
יש 6 דרכים לסדר 3 ספרות (123, 132, 213, 231, 312, 321)
3!=3[b]2[/b]1=6

[po]ב דחילו[/po],
נראה לי שבנוסחא את מכוונת לנוסחא של סידרה חשבונית (n כפול n +1, והכל חלקי 2), בעוד שהשאלה על מספר הצירופים האפשריים בשטרות הכסף היא שאלה בקומבינטוריקה (לפחות כך קראו לשאלות מסוג זה בבחינת הבגרות).

מספר האפשרויות הוא אכן גבוה הרבה יותר מ 10 כפול 10:
יש ברצף שבשטר עשרה "מקומות" פנויים. בכל מקום כזה ניתן להעמיד כל ספרה מ 0 עד 9, ולפיכך, עבור כל מקום פנוי יש 10 אפשרויות. כעת יש להכפיל את האפשרויות: 10 (למקום הראשון) כפול 10 (למקום השני) כפול 10 (למקום השלישי)...וכן הלאה עד כפול 10 (למקום העשירי). סה"כ - 10 בחזקת 10.
כל האמור, בהנחה שאין מניעה שספרות יחזרו יותר מפעם אחת ברצף ושהרצף יכול להתחיל גם בספרה 0. אחרת צריך לצמצם את האפשרויות.


<ואם אני טועה, זה רק מפני שאיש המתמטיקה שלי נמצא במיל'...>

שאלה בחשבון, אולי מתאימה יותר לדף אחר, מבקשת עזרה:
בני פקח את העינים היום ושאל אותי: נכון שעל כל שטר כסף מצויין מספר? מה עושים אחרי שנגמרים המספרים?

אחרי שיחה נחמדה על הדפסת כספים חוקית ולא חוקית ודרכים שונות לבדוק שטר מזוייף אמרתי לו שיש המון המון צירופים שאפשר להפיק מעשר ספרות. אינטואיטיבית הוא הכפיל עשר ספרות בעשרה מספרים - ואמר שיש 100 אפשרויות. אמרתי לו שבאמת מכפילים אבל המספר הרבה הרבה יותר גבוה.

משהו מכיר את הנוסחא, ויכול להסביר לי אותה במספרים קטנים יותר? זכור לי משהו עם n אולי מינוס 1, אבל אולי אני מתבלבלת עם משהו אחר.
תודה @}

הויכוח, אם ישנו, הוא לא לגבי איך ללמד אלא לגבי [b]מתי[/b] ללמד. [po]ג'ון הולט[/po] אומר שצריך ללמד רק כשהילד מתעניין. כשזה קורה, אפשר להשתמש בכל שיטה -- גם אלה של אהרוני, גם שינון יבש, או כל שיטה אחרת.

קניתי ואני קוראת בהנאה רבה. סופסוף הבנתי למה 'ערך משולש' נאמר פה כקללה וגם את החשיבות של חוקי השינוי והסיבה להתעקשות בחוברות של בני על 'עיסוי' התרגילים (במקרה הזה בחיסור) בתחבולות שונות. עכשיו כשברורה המטרה, נשאר רק לטפל בדרך, וביחוד בהצפה.

משהו מעורר מחשבה מתוך הספר תחת הכותרת 'גם המובן מאליו צריך להיאמר':
"בשלושת העשורים האחרונים פירש זרם בחינוך, ה"קונסטרוקטיביזם", את גישת "מתוך הילד" בצורה מרחיקת לכת: הילד אמור לגלות את העקרונות והחוקים בעצמו. אלא שדבר זה אינו תיווך, תיווך איננו גילוי עצמי של המושגים, אלא התנסות משותפת בדברים שהם בתחום השגתו של הילד" (עמ" 56).

נראה לי שיש לו פה ויכוח עם הולט, כי מדובר פה על 'לעיסה' של החוקיות, או המציאות - אמנם לא בישול יתר, השריה, מיצוי ודילול - אבל בהחלט על מניפולציה ופילטר מאוד מחושב דרכו ניגשים לילד. יש פה גישה של 'חילוץ' החוקיות מתוך עולם הידע 'של הילד' ('מתוך הילד'), אבל הילד מובל ולא מוביל (חייבת לרוץ)

[u]גם אני מאלה שחשבו, שלא בצדק כנראה, שהורה לא אמור להיות מורה לחשבון[/u]

מורים בחינוך הממלכתי אינם מיועדים להחליף את ההורה, אלא רק לתת לו כלי לשימושו.
האחריות ללימודיו של הילד היתה ונשארה על ההורה ועל הילד עצמו.
העובדה שמשרד החינוך משדר כאילו החינוך וההוראה הוא אחריותם זו בעיה: החינוך הוא באחריות ההורים. התפקיד של המורה צריך להיות לאפשר להורים לקבל שירותי חינוך במה שהם רוצים. משרד החינוך צריך אולי לפקח אל סבירות של תוכנית הלימודים (לימודי ליבה, מבחני מיצ"ב או כדומה).
למעשה גם את זה לא עושים במשרד החינוך, אלא במקום שזה קל.
למשל, בחינוך החרדי אין לימודי אזרחות, ומשרד החינוך אינו נוקף אצבע.

[u]אולי אני צריכה לצפות את זה מעצמי.[/u]

כן זו גם ההארה שלי. נראה שאף אחד לא יעשה את העבודה בשבילי ומוטב לגלות זאת מאוחר. טוב, קניתי את הספר והתחלתי לקרוא בו (מרתק!) והגיע הזמן לשנס מותניים ולהיכנס לעניינים! נקווה שלא מאוחר ושיהיו לי הכוחות.

<גם אני מאלה שחשבו, שלא בצדק כנראה, שהורה לא אמור להיות מורה לחשבון>

Base eight is just like base ten really - if you're missing two fingers
ענק!

כשהייתי נערה איש יקר אחד הכיר לי אותו. יש לי קלטות עם השירים/מערכונים שלו.
פעם תרגמו קצת לעברית, קראו למופע "פצצת טום". התרגום היה די חלש, למען האמת.

אולי אני צריכה לצפות את זה מעצמי. אסתפק בכל שלא יבלבלו אותו.

תבשיל, [u]new math[/u] גדול! :-d עד :-'
מאיפה את מכירה את ה [u]מתמטיקאי וסטנדאפיסט[/u] הזה, או יותר נכון למה חשבתי שבנח"ל 'עושים חיים'?

[u]אני מצפה מהמורה שלא תסתמך כל כך על חוברות, אלא תלמד במגוון של דרכים, דוגמאות, משחקים והמחשות.[/u]

לא הגזמת קצת בציפיות ממורה? (בפרט שזה לא דווקא מורה מיוחד במינו, אלא זו נשמעת ציפיה מכל המורים)
מי שלימדו אותה בסמינר בקושי ידעו לעשות את זה. אז את מצפה שהיא תדע?

אין לי תשובות, רק (())
מה שאני 'עושה', לא כל כך בעשיה אלא במסר אל הילד הוא קודם כל שאם הוא מתקשה - החוברת לא בסדר... זה מסתדר עם האינסטינקט הילדותי שלו (הלוואי עלי) לייחס את הקושי למשהו חיצוני. בשביל זה אני פועלת (על עצמי) כמו בספר בישול מרוקאי: 'קודם כל תרגעי'... ומשוכנעת שכשמסבירים נכון, הילד מבין. אחרי שהשתכנעתי בכך חלק מהזמן אני תומכת בו לא לענות, ומדברת עם המורה, וחלק מהזמן אני אומרת לו לדלג על ההסבר ולענות 'בדרך שלו'.

אני לא מכירה את חוברות העמותה. בחשבון 10 יש גם רעיונות יפים, הבעיה אולי היא בגישה של המוסיף-הגורע ובמחשבה שניה אני מצפה מהמורה שלא תסתמך כל כך על חוברות, אלא תלמד במגוון של דרכים, דוגמאות, משחקים והמחשות. החוברת היא עוד כלי, אבל בפועל בלימודי החשבון ובעוד מקצועות - ממלאים חוברות. ולכן אני אנסה לחזק את המורה, לאפשר למידה יחידנית, לתת לה רעיונות (אולי מחוברות העמותה) וכדומה.

_מזכיר לי את המערכון new math של תום לרר
תודה! תודה! תודה!_
גם ממני!

[po]ב דחילו[/po], דעתך על חשבון 10 תואמת את דעתי. וכעת אני חוששת ששיגעתי את הבת שלי, כאשר לאחר שניסיתי להסביר לה על פי הספר ש

15-7=15-5-2=10-2=8

ואחרי זה היא לא הסכימה לענות על תרגילים מהסוג וטענה שאינה יודעת! הבעיה היא, שאיני יודעת בעצמי כיצד להנחות אותה בלי לבלבל. בינתיים היא נעזרת באצבעות. האם באמת אין חשיבות לדרך, ובלבד שהם מגיעים לתשובה הנכונה? האם אין הכרת הדרך לפתרון התרגיל, שלב המהווה בסיס אותו יש לעבור לפני שממשיכים הלאה?

אני לא מומחית למתמטיקה, אך התחושה שלי היא שיש בעיה בשיטה של חשבון 10 - הקפיצה מנושא לנושא, ההסברים הלא ברורים. עם זאת אני חוששת שעבודה על החוברות של העמותה במקביל לעבודה בכיתה בחוברות חשבון 10 גם תעמיס עליה וגם תבלבל אותה.

[u]לפעמים היא 'מחלקת' חידות ובעיות אתגריות לילדים ואומרת שזה 'לגדולים', כדי לא לפגוע בילדים מתקשים.[/u]

הדרך שלי היתה אחרת:
הייתי נותן כמה שאלות, שאת הקלה ביותר כל הכיתה תצליח לפתור, ואת הקשה ביותר אף אחד לא.
כך לכולם היה אתגר, ולכולם היה סיפוק חלקי.

[hr]

[u]מענין אם יש להם שירות של יעוץ נקודתי למורה, מעבר לקידום החוברות.[/u]

נדמה לי שיש משהו כזה. אני לא בטוח.

[u]מזכיר לי את המערכון new math של תום לרר[/u]
תודה! תודה! תודה!
<עכשיו צריך לקוות שהמורה למתמטיקה בודקת מדי פעם אימייל בחשבון שפתחנו לה בשנה שעברה...>

[url=http://curvebank.calstatela.edu/newmath/newmath.htm]פה[/url] אפשר לשמוע את זה. מומלץ מומלץ מאוד.

[u]מגמה של משרד החינוך 'להעמיק' את ההבנה במתמטיקה - בפועל יוצרים חוברות מאוד מתחכמות[/u]
מזכיר לי את המערכון [url=http://members.aol.com/quentncree/lehrer/newmath.htm]new math[/url] של תום לרר.

(תום לרר הוא מתמטיקאי וסטנדאפיסט)

דיברתי עם המורה. היא מכירה את הספר, את פרופ' אהרוני ואת החוברות של העמותה (משום מה היא קראה להם 1+1 ולא מתמטיקה יסודית, כמו בקישור). התמונה לא מעודדת בכלל. היא מסכימה עם הבלבול ומרגישה אותו אבל החוברות הקיימות בביה"ס (חשבון 10) מיצגות מגמה של משרד החינוך 'להעמיק' את ההבנה במתמטיקה - בפועל יוצרים חוברות מאוד מתחכמות. פה נראה לי שמגולם הפרדוקס - מבקשים לקדם תפיסה מופשטת ומתוחכמת לפני שמבססים את ההבנה.

עמוד אחד בחוברת מסביר שש דרכים שונות לבצע חיסור:
[list=1]
[*] חיבור
[*] חיסור מספר עגול והשלמת התרגיל לחיסור המבוקש: 37-24 זה כמו 37-20-4
[*] הוספת מספר לשני המספרים לצורך עיגול : 49-30 במקום 46-27
[*] הוספת מספר לאחד המספרים וחיסור שלו מההפרש: 56-26-3 במקום 53-26
[*] להוסיף מספר לאחד המספרים כנ"ל
[*] ולסיום, להעזר בציר המספרים... לי לקח זמן להבין את כל הדרכים ואני מודה שטחון נטחנתי. לאחר שלל הדוגמאות הילד מתבקש לפתור (בדרך הנוחה לו) ולכתוב את הפירוט. זה כבר ממש דבר והיפוכו... מספיק שהילד הלך לאיבוד באחת הדוגמאות, מה שמתבקש מהנחת היסוד שלהם שיש דרכים שונות להבין, הרי שהוא מאבד את הבטחון בהבנה שלו.
[/list]

אני מאוכזבת, החשש שהיה לי התממש. המורה מבינה ומכירה בבעיה של החוברות ושל משרד החינוך. החלטנו להמשיך לחשוב ביחד. עודדתי אותה להקשיב לאינסטינקט שלה, לא להוסיף הסברים על הסברים, אלא לבסס את ההבנה שיש ולהציע שאלות או אתגרי חשיבה מתוך עולמם של הילדים. מקצת מהבעיות שהיא נתקלת בהן בכיתה הן קושי בהבנת שאלות מילוליות - חידות וסיפורים, ילדים שלא מבינים מהות של מניה (לא מבינים שמספר שמונים מיצג את הכמות), פערים עצומים בהבנה בין התלמידים. לפעמים היא 'מחלקת' חידות ובעיות אתגריות לילדים ואומרת שזה 'לגדולים', כדי לא לפגוע בילדים מתקשים.

אני חושבת לקנות את החוברות לילדי. וברמה הבית ספרית לנסות לקדם שיתף פעולה עם העמותה. מענין אם יש להם שירות של יעוץ נקודתי למורה, מעבר לקידום החוברות.

[u]בשביל ההורה מן השורה, האם אין המורה מומחה להוראה, בהגדרה?[/u]

בהגדרה - כן.
במציאות - לא.

במקרים לא מעטים ההורה יכול להסביר טוב יותר מן המורה.

במקרים לא מעטים התמחותו העיקרית של המורה היא השלטת משמעת בשלושים בני תשחורת, אשר מתעניינים זה בזה, בלבוש החדש של זו שבכסא השני, בניצני פריחת התבגרותם של שכיניהם משני הצדדים, בשאלה קבוצת הכדורגל שמי אוהד ניצחה את הקבוצה היריבה, ובפרק האחרון בסדרה שאני אפילו לא יודע את שמה. הדבר האחרון שמעניין אותם בחיים זה מה שיש לו לספר להם. להשליט שקט ומשמעת בחבורה עליזה שכזו - זו בהחלט מומחיות ראויה להערכה, אך לא לתואר "מורה".

[u]החלחלה היא מההתייחסות למורה כאל מומחה.[/u]
עכשיו החלחלה קצת יותר מובנת, אם כי אני מרשה לעצמי להמשיך ולהקשות: בשביל ההורה מן השורה, האם אין המורה מומחה להוראה, בהגדרה?
מכיוון שחונכתי להטיל ספק, היום, כאמא, אני מאוד מקפידה לשים לעצמי גבולות, וכשזה מגיע למורים של ילדי אני מנסה שהם, הילדים, יהיו מטילי הספק, ולא אני, במקומם. אני מנסה לתת למורה קרדיט, בחזקת חף מפשע עד שיוכח אחרת...

אמא שלו,

[u]לעניין ההתמקצעות, לדעתי לא צריך להתחלחל. המגמה בבתי הספר היסודיים כיום היא שהמורים יתמקדו במקצוע אחד ויתמחו בו. מה רע בכך שילד לומד מתמטיקה אצל מורה שזכתה להשתלם ולהעמיק בהוראת מקצוע המתמטיקה, ומדעים אצל מורה שלמד והעמיק בהוראת המדעים בביה"ס היסודי?[/u]

החלחלה היא מההתייחסות למורה כאל מומחה.
העובדה שהיא למדה עוד אלף שעות אשר מזכות אותה בגמול הוראה, עדיין לא אומרת שהיא מבינה משהו בהוראת חשבון. יכול מאד להיות שהיא הפכה למומחית מיומנת מאד בלימוד חשבון בצורה מזיקה.
כך, לדוגמא, אם מישהו הפך למומחה מספר אחד בעולם בשיטת הערך המשולש, אז הוא אינו מומחה להוראת חשבון, הוא מומחה להקפאת מוחות של ילדים רכים.

אדוארד דה-בונו, ההוגה החשוב ביותר בזמננו בתחום הוראת החשיבה, נותן דוגמא לאיך אדם מנוסה יכול להיות גרוע: אדם מקליד באצבע אחת במשך שנים. עם השנים הוא הופך למיומן יותר ויותר, ולמהיר יותר ויותר, בהקלדה באצבע אחת. ועדיין, הוא אינו מקליד היטב, כי הקלדה טובה היא הקלדה בעשר אצבעות. גם אם הוא עצמו מהיר מאד, הוא היה מגיע למהירות הרבה יותר גבוהה בעשר אצבעות. הוא מקליד מיומן, אבל בשיטת הקלדה גרועה.
נסיון מביא למיומנות, אך לא מביא למומחיות.

תבשיל, תודה על הקישור. באחד הדפים פרופ' אהרוני מספר שהוא לומד יותר משיחה עם מורה בבית-ספר מאשר ממאמרים מלומדים על 'חינוך מתמטי'. הדפסתי את הדברים - הם יכולים לעזור למורה להסתמך על הנסיון שלה ולא על הסמכות של החוברות. איזה יופי.

אמא שלו, מעניין התגובה שלך, אני בדיוק עומדת לכתוב פתק למורה.

אני לא רואה את 'גיבוי הילד' עומד בסתירה ל'גיבוי המורה'. בדיוק מהסיבה שהמורה צריכה ללמד ילדים רבים אני חושבת שיש מקום לעמוד 'בצד' של הילד ולהאיר בפניה את מה שהתרגיל מעורר. הבעיה נמצאת במנגנון ה'חסכני', כפי שאני רואה את זה, שפועל פה. מרגע שהילד מבין בצורה מסוימת - הוא לא מעונין שימשיכו להסביר לו. למורה אין דרך לדעת זאת ואני נוטה לחשוב שצריך להניח לו. מורה שבטוח בעצמו לא יראה בכך איום (אם 'דילגנו' על עמוד והרווחנו הבנה).

כאן בדיוק נכנס החשש ממורה שלא בטוחה בעצמה ונתלית בחוברות. אם הייתי מורה הייתי שמחה לסוג כזה של שיתוף ביני לבין הורה, בתנאי שהוא לא נעשה בהתנשאות. המורים הסינים כנראה מלמדים טוב. לא נראה לי שידע במתמטיקה יכול לפגום בכשרון או בחכמה ללמד.

למעונינים -
מנהל פורומתמטיקה בתפוז ערך את האירוח הנ"ל [url=http://www.tapuz.co.il/forums/main/articles.asp?id=457&[po]art]לאוסף מאמרים[/url] id[/po]=173, מחולק לפי נושאים.

תהנו.

אם אני צריכה לקחת איתי משפט אחד מכל הספר, אקח את "חרדת מתמטיקה מתעוררת כאשר מדלגים על שלב בלי לשים לב לכך". מאז שקראתי את זה, בכל פעם שהבן שלי מגלה התנגדות לא מוסברת, ולא רק במתמטיקה, אני מיד בודקת אם לא דילגנו שלב...
צריך לזכור שהילדים שלנו אינם לומדים מתמטיקה באופן פרטי, אלא בקבוצה, ואפילו בקבוצה גדולה למדי, שלעיתים היא פשוט גדולה מדי.
יתכן שהמורה מנסה ללמד את כל שיטות הפירוק האפשריות, כדי שכל ילד יבחר לעצמו בסופו של דבר את השיטה המתאימה לו ביותר. העניין הוא, שכדי לבחור על הילדים להתנסות בכל אחת ואחת מהשיטות, ולכן, יתכן שהמורה מתעקשת. בכל אופן זה שווה בירור. לדעתי, לפני שמגבים את הילד באופן גורף, צריך לתת גיבוי למורה. אני הייתי אומרת: 'אלו שיעורי הבית, נכין אותם היום כפי שהתבקשת, ומחר נברר עם המורה...'
לעניין ההתמקצעות, לדעתי לא צריך להתחלחל. המגמה בבתי הספר היסודיים כיום היא שהמורים יתמקדו במקצוע אחד ויתמחו בו. מה רע בכך שילד לומד מתמטיקה אצל מורה שזכתה להשתלם ולהעמיק בהוראת מקצוע המתמטיקה, ומדעים אצל מורה שלמד והעמיק בהוראת המדעים בביה"ס היסודי?
בספר מספר אהרוני על כך שהתלמידים הסינים מקדימים את האמריקאים במבחנים משווים במתמטיקה, למרות שהמורים האמריקאים משכילים הרבה יותר מעמיתיהם הסינים. הסיבה, לפי עבודת דוקטורט שכתבה מורה סינית בסטנפורד, היא ש"המורים הסינים מייטיבים מן האמריקאים [b]להבין את המתמטיקה של בית הספר היסודי[/b]." הדוגמאות שהוא נותן ממש פוקחות עיניים (טוב, לפחות את העיניים שלי) - בעמודים 96-98.

[u]נראה לי שהכוונה שלהם טובה - להראות גישות אינטואיטיביות שונות לקרוא את התרגיל ושחיבור הופך לפשוט אם מעגנים אותו במספר עגול וממנו מחסירים[/u]
[u]אבל בדרך, לדעתי, מבלבלים את התלמיד, כי מרגע שהוא מצא את הדרך 'שלו' וממשיכים להציע לו (או להכריח אותו לפתור בדרך שונה) מערערים לו את הבטחון[/u]

מסכימה מאוד. אני ראיתי בעצמי שכשניסיתי להראות לבן שלי (בהקשר קצת אחר) את האפשרות "לעגל" ואחר כך להחסיר, ראיתי שאני סתם מבלבלת אותו. אז עזבתי את זה. נדמה לי שזה היה משהו כמו 99 כפול 2.
אני מאמינה שהוא יגיע לזה מעצמו, כשיגיע הזמן הנכון מבחינתו.

לנער יותר קל לחבר חבור טורי - אחדות לאחדות, עשרות לעשרות (ולמה שביניהם קוראים - המרה. לא ידעתי). נראה לי שהכוונה שלהם טובה - להראות גישות אינטואיטיביות שונות לקרוא את התרגיל ושחיבור הופך לפשוט עם מעגנים אותו במספר עגול וממנו מחסירים (סליחה על השפה הלא-מתמטית). אבל בדרך, לדעתי, מבלבלים את התלמיד, כי מרגע שהוא מצא את הדרך 'שלו' וממשיכים להציע לו (או להכריח אותו לפתור בדרך שונה) מערערים לו את הבטחון. מרוב כוונות טובות.

עודד, לא יודעת איך זה בבית ספר יסודי, אני חושבת שכל מורה משתלמת בתורה/חשבון וכו'. עכשיו גם לי יש צמרמורת.
תבשיל, אנחנו בתחילת השנה וחשוב לי להבהיר לה שהחוברות מכילות דברים חכמים לצד חזרות וקביעות מבלבלות. הכי טוב יהיה להכיר לה את הגישה.
[u]את הספר חשבון להורים עוד לא קראתי[/u] קודם אקרא בעצמי.

[u]38+42[/u]

מצאה לה תרגיל...

את יכולה להגיד לה שלאנשים עם חוש למתמטיקה לפעמים יותר הגיוני לפרק את זה כך
38+42=
(40-2)+(40+2)=
(40+40) + (2-2)
=80+0
=80

כך שאין דרך אחת, אלא דווקא בריא שהתלמידים מזהים את הנתיב שלהם לפתרון.

> אני לא יודע למה, אבל המלים "חשבון הוא תחום ההתמחות שלה" גרמו לי צמרמורת <

[u]מה לעשות שהפרוק מעצבן את הילד - הוא עונה 'בדרך שלו' ומחנטרש פירוק.[/u]
איך הוא פותר? האם הוא יכול לתאר בקול רם איך הוא פותר?
(גם סקרנית, וגם אולי זה יספק את המורה)

[u]איך מסבירים את זה לאזנים של מורה [/u]
האמת? מרגיזה אותי עם ה"בשיטה שלי", ולא נראה לי שצריך להסביר לה. די בפתק שאת מודעת ומגבה אותו, ואולי מציעה שיחה שלה עם הילד (אולי בנוכחותך), בה הוא יסביר לה שהיא צריכה לצאת לו מהוריד :-P

[u]מה לעשות שהפרוק מעצבן את הילד - הוא עונה 'בדרך שלו' ומחנטרש פירוק.[/u] איך הוא פותר? הוא בטח "מפרק" את זה בצורה כלשהי, לא?
הבן שלי (בן 7.5) פותר תרגילים כמו 38+42 ע"י כך שהוא מחבר 30+40 ואח"כ 8+2 ובסוף מחבר את שתי התוצאות.
אני באמת לא יודעת אם זה מה ש"לימדו" אותו בכיתה או שזו הדרך שנוחה לו.

אם לילד שלך יש דרך שלו שעובדת בשבילו, אז למה לא?
(את הספר חשבון להורים עוד לא קראתי, כך שלא יכולה להתייחס למה ששאלת).

שיעורי בית לסוכות - תרגילי חיבור פשוטים. הילדים מתבקשים לפרק את המספרים בצורה שתקל את החיבור.

למשל:30+8+40+2 / 40+42-2 = 38+42
מה לעשות שהפרוק מעצבן את הילד - הוא עונה 'בדרך שלו' ומחנטרש פירוק. הצעתי לו לענות את התשובה בדרך שלו ואני מתכוונת לכתוב מכתב למורה. נראה לי שכשלילד ברורה הדרך - רק מזיק 'להקל עליו'.

מה לדעתכם גישת הספר? או במילים אחרות איך מסבירים את זה לאזנים של מורה (שחשבון הוא תחום ההתמחות שלה)? בכלל הייתי רוצה להציג בפניה את הגישה של הספר - בלי לאמר 'שיטת סינגפור', כי נדמה לי שהמורים מתפוצצים משיטות וחידושים.

שמיכת טלאים, אני איתך... נכנסתי עם המון מוכנות לספוג ובסוף גיליתי שאיפושהוא באמצע אני מאבדת את כולם וטובעת לי במושגים כמו , מונה במונה, מכנה במכנה... :-)

למה לא קשור לחשבון? מאוד קשור לחשבון...

בכלל לא קשור לחשבון, סתם כי נראה לי שזה קהל מתאים, רוצה להמליץ על משחק הקלפים SET שבני קיבל בערב שבת מסבתא שלו ומאז לא מפסיקים לשחק בו, מגיל 7 ועד בכלל.
http://www.setgame.com/set/index.html

[u]זה רק ישפר את ההבנה המתמטית שלהם, ובעיני זה עושר רוחני משמעותי[/u]

לצערי, לא מעניין אותם עושרוחני זה.

<לזכור למצוא ספרי עושר רוחני לילדים שלי>

[u]אם אני אלמד את הפוחחים שלי את הספר יש סיכוי שיהיו עשירים ויעלו לגדולה[/u] אולי כדאי יותר שתלמד אותם לשחק כדורגל.

אולי הם יכנסו למהדורה הבאה של "הוצא מהקשרו" www.cs.tau.ac.il/students/shtuyot/out%20of%20context.doc

[po]עודד לבנת[/po],
סיכוי כזה קיים גם בלי הספר.
לא נראה לי שהספר מגדיל במיוחד את הסיכוי שמישהו יהפוך לעשיר בכסף. זו גם לא הכוונה של זה. זה רק ישפר את ההבנה המתמטית שלהם, ובעיני זה עושר רוחני משמעותי (אבל פעמים רבות, כאשר אני מנסה לדבר עם אנשים על היופי במתמטיקה, אני מרגיש כמו מישהו שמנסה לתאר זנב של טווס באוזניו של עיוור מלידה).
בשביל לעשות יותר כסף עדיף לחנך אותם לכסף. אם אתה מחפש ספרים טובים בנושא, אפשר להתחיל עם "מה המנכ[url=http://www.ibooks.co.il/[po]NS]ל רוצה שתדע[/url] GetProdInfo[/po].asp?prodid=11531795 (אבל גם שם צריך לדעת להכפיל :-) )

תגידו, אני היחידה שבטוחה בכל פעם שהעין שלה נתקלת בשם הדף שהוא מתעסק בחשבון שילדינו עתידים להגיש לנו בעוד כך וכך שנים, למה עשיתם לנו ככה ולמה לא עשיתם לנו אחרת?

רגע, אני מצטער, אבל בכל זאת, בתור הורה מודאג זה חשוב לי לדעת - אם אני אלמד את הפוחחים שלי את הספר יש סיכוי שיהיו עשירים ויעלו לגדולה?

(אלי שבשמים, עשה שיחזירו תשובה חיובית)

[u]זה ספר חשבון להורים עשירים או עניים?[/u]

הספר עולה שישים שקלים באינטרנט.

> עודד מסרב להבין רמזים הקשורים לכת הקיוסאקית <

[po]ב דחילו[/po],

[u]מה זה 'קבוצה חלקית'?[/u]

הגדרה: אם כל אבר ב- A הוא גם אבר ב- B, אז A היא קבוצה חלקית של B.
דוגמא:
נהוג לכתוב קבוצה בתוך סוגריים מסולסלים.

אם
{{ A = {1,3,4,5,6} }}

ואם B היא קבוצת המספרים הקטנים משבע
ואם C היא קבוצת המספרים האיזוגיים,
אז A היא קבוצה חלקית של B (או תת-קבוצה של B), כי כל המספרים ב- A הם גם ב- B (כי הם קטנים מ- 7),
אך A אינה קבוצה חלקית של C (כי יש בה שני מספרים זוגיים, שאינם ב- C).
ואם

{{ D={1,3,5} }}

אז D היא קבוצה חלקית ל-A.

[hr]

כמה נקודות קצה:
[list]
[*] הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה.
[*] כל קבוצה היא קבוצה חלקית לקבוצה עצמה.
[*] כאשר רוצים לדבר על קבוצה חלקית אשר אינה מכילה את כל האברים של הקבוצה הגדולה יותר, אז מדברים על קבוצה "חלקית [b]ממש[/b]".
[/list]

ואידך זיל גמור בקורס תורת הקבוצות.

שאלה לא קשורה של אובד עצות - זה ספר חשבון להורים עשירים או עניים?

[u]שוב, אני מעורר דיון, ובסיומו אני פוסק[/u] :-)

מה זה 'קבוצה חלקית'?

במקרה כזה אני מקדים שלושה מונחים:
[b] [/b]הקבוצה כולה* (במקרה זה 36 תלמידים). נקראת גם "הקבוצה האוניברסלית".
[b] [/b]יחידון* (קבוצה של אבר אחד). אני מעורר דיון האם זו קבוצה, ובסוף פוסק שאצלנו זו נחשבת קבוצה.
[b] [/b]הקבוצה הריקה*. שוב, אני מעורר דיון, ובסיומו אני פוסק שאצלנו זו נחשבת קבוצה, ושיש רק אחת כזו, כי זהות של קבוצות נבחנת בזהות אבריהן.

עכשיו אפשר לשאול את השאלה קודמת, ולהוסיף בסוף "כולל הקבוצה הריקה, הקבוצה האוניברסלית ויחידונים".

זה בדרך כלל פותר את הבעיה.
במקרים מסויימים יש להקדיש גם תשומת לב לקבוצות של שנים. אז מקדישים.
בכל אופן, זו בעיה סטנדרטית בלימוד, אשר נובעת מההבדל בין המשמעות של המונח "קבוצה" ו"קבוצה חלקית" במתמטיקה, לבין משמעותו בחיי יום-יום.
כאשר יש הבדל כזה, יש ללבן את משמעות המונחים כפי שאנחנו מתשמשים בהם, ולהכיר בכך שבחיי יום יום השימוש עשוי להיות אחר.

אפשר גם לעשות טבלא, שעמודותיה הן:
[list]
[*] תכונה
[*] קבוצה במתמטיקה
[*] קבוצה בלשון יום יום.
[/list]

ואז להראות שקבוצה במתמטיקה חלה גם על יחידונים, ובלשון יום יום לא בטוח, וקבוצה חלקית במתמטיקה זו גם הקבוצה כולה, ובלשון יום יום לא בטוח.

[u]בואי ננסח את אותה השאלה בלי המלה "קבוצות":[/u]
אבל זה בדיוק הענין, זה שיעור שנועד ללמד את מושג הקבוצה!!!
אני זוכרת את עצמי בשיעורי אלגברה ליניארית לתואר ראשון, נפגשת לראשונה בחיי עם המושג "קבוצה" כמושג "טהור", בלי קשר לפעילות חברתית או ספורטיבית, תנועת הנוער או ההתישבות העובדת...
<האם הדוגמאות שמשתמשים בהן בשיעורי מתמטיקה דופקות לפעמים את הבנת המתמטיקה?>

אני לא רואה בעיה עם השאר.
בואי ננסח את אותה השאלה בלי המלה "קבוצות":
בכיתת השיקויים יש 36 תלמידים.
סנייפ רוצה לקנות לכיתה קדרות, כך שעל כל קדרה יעבדו תלמידים באותו המספר.
מהם המספרים של קדרות שאפשר לקנות, וכמה תלמידים יעבדו עם כל קדרה בכל אחד מהמקרים?

כך אין ספק שאפשר לקנות גם קדרה אחת, ואפשר לקנות גם 36 קדרות.

[u]הקבוצה הריקה לא תפריע כאן, כי אין דרך לחלק 36 ילדים לקבוצות ריקות בלבד[/u]
מסכימה, אך מה לגבי הדוגמאות האחרות?

עודד - סימן השאלה לא מאפשר לי לכתוב תודה בדף הבית שלך, אז:

תודה.

נורית ועודד - תודה על הכתובת.

[u]רק אחרי שהילד מרגיש נח עם שאלות של שלב אחד[/u] אני מודה שמי שהתבלבלה היתה אני. בהתחלה מהרתי לחסר 23-15, ומיד לא הייתי בטוחה שכדאי לעשות זאת ככלל (לחבר או לחסר את ההפרש מ 81). במעבר למספרים חד ספרתיים החלטתי שקל יותר להפוך את הסימנים כדי להגיע לכלל. אני מציינת את ה'דרך' שבה התלבטתי כי אחרי מחשבה נראה לי שאני נלחצתי ובני, לאחר שהשאלה נשאלה באופן מוחשי, הבין אותה מיד.

[po]אמא שלו[/po],

[u]ומה עושים עם קבוצה ריקה?[/u]

הקבוצה הריקה לא תפריע כאן, כי אין דרך לחלק 36 ילדים לקבוצות ריקות בלבד.

[po]ב דחילו[/po],

[u]עודד, על איזו עמותה מדובר והאם אפשר לקשר בינם לבין מורה או בית ספר?[/u]

[url=http://www.ifma.org.il/]העמותה לקידום החינוך המתמטי לכל[/url]

[po]ב דחילו[/po],

[u]שאלה מכיתה ג'. שלוימל'ה לקח מספר (עד מאה), הוסיף לו 23, החסיר ממנו 15 וקיבל 81. מהו המספר? .... איך הופכים שאלה כזו למוחשית?[/u]

ראשית, זו שאלה של שני צעדים. אין להגיע אליה לפני שהילד משתלט על שאלות של צעד אחד (עוד אחד מהעקרונות של השיטה הסינגפורית: לא לדלג על שלבים).
דוגמא לשאלה של צעד אחד:
[list]
[*] רמת קושי חיבור דו-ספרתי: ירמחיאל לקח מספר עד מאה, הוסיף לו 23 וקיבל 45. מהו המספר? (רמת קושי חיבור חד ספרתי זה עם 8 במקום 23 - קצת יותר קל).
[*] רמת קושי חיסור דו-ספרתי: זרובבל לקח מספר עד 100 וחיסר ממנו 42, וקיבל 51. מהו המספר?
[/list]

רק אחרי שהילד מרגיש נח עם שאלות של שלב אחד אפשר לעבור לשאלות של שני שלבים.

[hr]

אשר להפיכה למוחשית - לפי העקרון שצריך לפחות שלוש דוגמאות מתחומים שונים, כדי שהילד יבין את העקרון במנותק מהדוגמאות:
[b] [/b]ספירה**: אוטובוס יצא עם מספר מסויים של נוסעים. בתחנה הראשונה עלו 23, בתחנה הבאה ירדו 15, אז ספרו עליו 81 נוסעים. כמה נוסעים היו בהתחלה?
[b] [/b]מדידה**: היה חבל אדום באורך מסויים. חיברו אותו לחבל ירוק באורך 23 מטרים. מהקצה האדום של החבל המחובר חתכו 15 מטרים. אורך החבל האדום-ירוק בסוף היה 81 מטרים. מה היה אורך החבל האדום בהתחלה.
[b] [/b]דרך**: חילזון התחיל מגובה מסויים על קיר. הוא טיפס ביום 23 סנטימטרים והחליק בלילה 15 סנטימטרים. בסוף הלילה הוא היה בגובה 81 סנטימטרים. באיזה גובה הוא התחיל את המסע?

ואפשר כמובן דוגמאות של כסף, בלטות שמכסה השטיח ובלטות שיש בחדר נוסף ועוד.

[url=http://www.ifma.org.il/index.html]העמותה[/url]

[po]אמא אינקובטור[/po],

_כשמכפילים שבר בשבר - חצי בשליש, למשל, כופלים מונה-במונה-מכנה-במכנה. פשוט.
למה כשמחברים שברים לא מחברים מונה-במונה-מכנה-במכנה, מה שרוב הילדים עושים אינטואיטיבית? (אני לפחות פתרתי הרבה בעיות באופן אינטואיטיבי שהתברר כמוטעה...)_

זו שגיאה וזו טעות:
בחיבור שברים, לחבר מונה למונה ומכנה למכנה זו שגיאה: מקבלים את התוצאה הלא-נכונה.
בכפל שברים, להכפיל מונה במונה ומכנה במכנה זו טעות, כי אמנם מקבלים את התוצאה הנכונה, אבל לא מבינים למה. עושים את זה בצורה מכאנית, והתוצאה היא שמנסים להפעיל את אותו התהליך על חיבור שברים.
האינטואיציה כאן היא שגויה, ויש לשרש אותה: זו אינטואיציה מכניסטית, לא אינטואיציה של מהות השבר.
למעשה שבר הוא [b]פתרון תרגיל חילוק[/b]. חמש תשיעיות הוא הפתרון של התרגיל חמש חלקי תשע, או של תרגיל כפל עם נעלם: מה נכפיל בתשע ונקבל חמש:
x = 5:9
9x = 5

עכשיו, האפשרות להכפיל 5/9 ב- 7/12 נובעת רק מהסיבה הבאה:
[b]אם מכפילים שווים בשווים מקבלים שווים[/b]
כלומר:
נניח ש
x=5/9
y=7/12

אז הרישום כמשוואה יתן:
9x=5
12y=7
מותר לי להרחיב את המשוואה השניה בחמש.
להרחיב בחמש זה אומר לכפול כל אחד מהצדדים בחמש.
המשוואה הראשונה אומרת שאם אני כותב 9x זה בדיוק כאילו כתבתי 5: הם שווים.
לכן נרחיב את המשוואה השניה בחמש, [b]על ידי זה שנכפול כל אגף באגף המתאים לו במשוואה הראשונה[/b]. (זו הנקודה העמוקה כאן, וזו המשמעות של לכפול שווים בשווים. אני מקווה שהצלחתי להסביר אותה).
אז נקבל (אני משתמש בסימן T בשביל כפול)
12TyT9Tx=5T7
נסדר את האגף המסובך ונקבל
12T9xy=5T7
או, אם נחלק ב 12 כפול 9, נקבל
xy=5T7/12T9

זו, ורק זו, הסיבה שאפשר להכפיל מונה במונה ומכנה במכנה.
לעומת זאת, נסיון להפעיל את אותו הטריק על חיבור יניב:
12y+9x=5+7
ומכאן אין אפשרות לבודד את x+y.

[po]עדי יותם[/po],

[u]מעצבן אותי לראות שהיא סופרת כדי להגיע לתשובה. לא מדברת על הדוגמה הספציפית מתוך הבעיה, אבל נניח - 13 + 6. "אפילו" 12 + 9. היא יכולה לחשב בראש[/u]

אם היא סופרת זה אומר שהיא צריכה לספור.
יכול מאד להיות שהחיבור לא יושב אצלה מספיק יציב. העובדה שהיא חיברה לפני שנה לא אומרת שהחיבור שקע כהלכה. אני מכיר גם מהנדסים שהחיבור לא שקע אצלם.
הפתרון לדעתי הוא להכיר בזה, ולשים דגש על החיבור בכל פעם כזו. ואם היא עוברת לדבר על חיבור - אז ללכת איתה, ולחזק את החיבור שלה.

[po]עדי יותם[/po],

_דוגמה: ברחוב חבצלת 20 בתים. אמן קרמיקה מכין את המספרים, כשלכל ספרה הוא משתמש באריח אחד.
א. לכמה אריחים סה"כ יזדקק?
ב. כמה אריחים שעליהם הספרה 1 הוא יצייר?
אז נחמד שמביאים דוגמאות מ"החיים האמיתיים" ולא תרגילים "סתם". אבל איך הייתם מסבירים את ההגעה לתרגיל/חישוב?_

בעזרת הרבה מאד דוגמאות.
ראשית, שלושה בתים.
אחר כך שמונה.
בזאת נגמר השלב של אריח לכל בית:
עשרה בתים - ודיון על מספר האריחים. ספירה.
אחד עשר. אחר כך שלושה עשר.
רק אז עשרים.
אם צריך - עוד דוגמאות.
עכשיו לשאול כמה אריחים צריך לאריח התשעים, והתשעים וחמישה, וה- 99, וה- 100.

[url=http://www.ibooks.co.il/[po]NS]לקניית הספר בסטימצקי[/url] GetProdInfo[/po].asp?prodid=11660685

[hr]

ביקורות קוראים בסטימצקי:

[b]זיו[/b]: מקסים ומרתק
[b]עינת[/b]: הספר כתוב בצורה בהירה ונעימה לקריאה.
מרתק. מחכה להמשך לגבי נושאים של חטיבת הבניים.

[hr]

משולחנו של המוציא לאור
"חשבון להורים - ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים" מתאר בצורה בהירה ובסגנון קולח את עקרונות החשבון המהווים שער לחשיבה מופשטת ופתח להשתלבות בחיים המודרניים. ההסברים הפשוטים, המבוססים על התנסות ישירה ומוחשית ועל לימוד שיטתי, יסייעו לילדים להשתלט על לימודי החשבון. הספר דן בנושאים כמו ארבע פעולות החשבון הבסיסיות - חיבור, חיסור, כפל וחילוק - וכן בחישובי שברים, באחוזים ובבעיות יחס. אלה מוסברים בדרך קלה ומובנת, החושפת את יופיה ועומקה של החשיבה המתמטית. הספר עשוי לעזור להורים המעוניינים להשתתף באורח פעיל בלימודי החשבון של ילדיהם. כן נועד הספר לחובבי מתמטיקה, המוזמנים לבחון את הנושאים שלמדו בילדותם מזווית חדשה, ללמורים, לתלמידי מכללות להכשרת מורים ולאנשי חינוך.

[u]אפשר הסבר למשפט הזה? באמת לא הבנתי.[/u]
הסבר קצת קשה לי, אבל הנה דוגמא מהחיים:
"בכיתה 36 ילדים, והמורה רוצה לחלק אותם לקבוצות עבודה זהות בגדלן. כמה צירופים אפשריים יש?"
עכשיו, כשאתם חושבים על מרחב הפתרונות, האם "36 קבוצות של ילד אחד בכל קבוצה" נכלל בהן? (האם יכולה להיות קבוצה בעלת איבר אחד בלבד? במתמטיקה כן, בחיים - לא כ"כ)
מה לגבי "18 זוגות"? ("זוג" זה לא "קבוצה", זה זוג...)
ומה עושים עם קבוצה ריקה?

עודד, על איזו עמותה מדובר והאם אפשר לקשר בינם לבין מורה או בית ספר?

אשר לספרים: עברתי כמעט על כל מה שראיתי באתר שלהם.
יש שם המון עקרונות נכונים, אשר חלק מהם ניסחתי בעבר בעצמי, ואחרים, הרוב, ראיתי והצדקתי.
ההתרשמות שלי היא שאת העקרונות האלה גיבשו אנשים אשר מבינים היטב מהי הוראת מתמטיקה.

דוגמא לעקרון (בניסוח שלי - להם יש ניסוחים אחרים): כל עקרון מתמטי שנותנים לו דוגמאות, יש לתת לפחות שלוש דוגמאות מתחומים שונים, כדי למנוע יצירה של זיקה בין הדוגמא לבין העקרון, וכדי שהעקרון ייתפס כהכללה של הדוגמאות.
יישום נכון של העקרון הזה יגיד שאסור ללמד חיבור רק עם בדידים, אלא יש להוסיף לפחות עוד שתי דוגמאות, וגם בבדידים צריך יותר מערכה אחת (עם צבעים שונים לאורכים שונים), כך שלא ייוצר זיהוי בין צבע הבדיד לבין המספר.

בספרים לילדים יש לא רק עקרונות טובים. גם הביצוע טוב, וההתרשמות שלי היא שהם עשויים בהחלט לגרום לפריצת דרך אצל הילדים.


את הספר החדש עדיין לא קראתי.

טוב, איכשהו הדף הזה חמק מעיני.
אבל לא לעולם חוסן :-)
אני הכרתי את פרופסור רון אהרוני כאשר אני הייתי בן 17 והוא עוד לא היה פרופסור.
זה התחיל במשלחת לאולימפיאדה הבינלאומית במתמטיקה, והמשיך כאשר הוא העביר קורס חידות מתמטיות לנערים שלא הספיק להם מה שהם למדו בבית הספר, ואהבו מתמטיקה.
הקורס היה בפקולטה למתמטיקה שבטכניון, נמשך כשעה וחצי או שעתיים וחצי (אינני זוכר היום), נערך פעם בשלושה שבועות, ואני הייתי נוסע באוטובוסים כארבע שעות בכל כיוון כדי להשתתף בקורס.
אין מורים רבים שיכולים לרשום לזכותם נסיעה של שבע או שמונה שעות (הלוך + חזור) כדי להשתתף בקורס של פחות מחצי הזמן, באופן סדיר.
אחר כך, כאשר למדתי מתמטיקה, רון היה מרצה שלי בשני קורסים.
תחומי העניין שלו נעים ממתמטיקה, דרך תחומים אזרחיים ועד למקורן הביולוגי של הבעות הפנים (הרצאה מרתקת שלו, ששמעתי במרתף 10).
בהמשך הדרך עסקנו בתחום אידיאולוגי קרוב.
לאחרונה ביקשתי לגייס את רון לפעילות בנושא האידיאולוגי ההוא, והוא התנצל והסביר שהוא עסוק מעל הראש בפרוייקט של הוראת המתמטיקה לילדים.
אני יודע שקיימת מחלוקת משמעותית בנושא דרך ההוראה של המתמטיקה, ובמחלוקת הזו רון וקבוצה ההולכת איתו מנסים לקדם את לימוד המתמטיקה בישראל.
אני בעדו הן כי אני מכיר את רון ואת הבנתו, והן כי לפי מיטב שיפוטי - הדרך הזו נכונה.

[u]אנחנו מוותרים על יוניברס של תשובות אפשריות-אך-לא-בעולמנו, כי הן "לא הגיוניות" בהינתן הדוגמא המוחשית.[/u]
אפשר הסבר למשפט הזה? באמת לא הבנתי.

[u]נראה לי שדור שלם של ילדים והוריהם עוד יעמוד מתוסכל מול בעיות החקר האלו[/u]
רק נראה לך.
רוב הילדים והוריהם לא ייתקלו בכלל בשאלות האלה, כי לא יהיו מספיק נבונים כדי לחשוב על האפשרות האחרת הקיימת לפתרון.

[u]אני מצליחה להבהיר את עצמי או שאני סתומה?[/u]
ודאי שמצליחה! וגם צודקת מבחינה מתמטית טהורה. ברגע שאנחנו מנסים לפשט בעיה, להמחיש אותה, אנחנו מוותרים על יוניברס של תשובות אפשריות-אך-לא-בעולמנו, כי הן "לא הגיוניות" בהינתן הדוגמא המוחשית. אני חושבת, אם אני לא מתבלבלת...
נראה לי שדור שלם של ילדים והוריהם עוד יעמוד מתוסכל מול בעיות החקר האלו. טוב, נו, לפחות יהיה את מי להאשים בתוצאות ה"מיצב" בעוד כמה שנים (-;

[u]למרות שהתשובה הנכונה מבחינה מתמטית היא 1+2=3.[/u]
ולמה לא, למשל, 1+0=1?
אם את לא לוקחת את העברית ומשליכה ממנה שחייבים להיות חרוזים צהובים, את בהחלט יכולה לקחת "אפס" חרוזים צהובים וחרוז אדום אחד...
אם את משליכה מהעברית - אנא השליכי גם את השימוש ברבים...
אפרופו, במשפט [u]חרוזי זכוכית אדומים וצהובים[/u] אפשר להתייחס למילה "חרוזים" כמכוונת לכלל החרוזים, ולא רק לצבע ספציפי. (וכך יהיו 2+1 חרוזים, או חרוגים...מה שבא לבן שלך).
אני מצליחה להבהיר את עצמי או שאני סתומה?
<מלשון "לא בהירה", אבל כרגע גם מרגישה את עצמי סתומה גם במובן השני...>

[u]מיותר (?) לציין שעדיין לא הצלחתי "לשכנע" אותו[/u]
קחו ילד שהוא לא מכיר. אם תשאלו אותו "כמה אחים יש לך?" התשובה יכולה להיות אחד, או אפילו אפס ועדיין השאלה היא ברבים.


[u]והמורה כמובן קיבלה את התשובה שלו כנכונה[/u]
כל הכבוד לה. יש מורות רבות שלא היו מקבלות...