באופן טבעי

_{שם הדף שוּנה מ: חשבון להורים}
_{הדף חשבון להורים בבית אוחד עם דף זה בהמשך}

קישורים רלוונטיים:

NS]לקניית הספר בסטימצקי GetProdInfo[/po].asp?prodid=11660685
דף הבית של רון אהרוני בפקולטה למתמטיקה בטכניון
העמותה לקידום החינוך המתמטי לכל

פרופ' רון אהרוני היה המרצה הראשון בשעה הראשונה שלי בטכניון,
וחקוק בספרי הדורות כחוויה המתקנת במתמטיקה אחרי ה"קילקולים" של התיכון.
בסוף השבוע נתקלתי בספר חדש שלו בשם הספר חשבון להורים - ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים
תמונה

בקריאה ראשונה ומרפרפת, לטעמי (המשוחד), הספר מצויין.
אשמח לשמוע את דעתם של אנשי החינוך הביתי או אלה המעורבים באופן פעיל בלימודי החשבון של ילדיהם,
ונתקלו בספר.

<מסתבר כי "קניתי לביצקייה" הוא תירוץ מצויין - גם כשמדובר בספר מתמטיקה לבת 5 חדשים>

אשמח לשמוע את דעתם של אנשי החינוך הביתי
המממם.
עוד לא קראתי, זה ברשימת ה-לקנות.
למה? כי רון אהרוני, כמובן.

> נעמדת ליד יוחנן בשורה <

תבשיל,
לידי בשורה זה שינוי מרענן.
התרגלתי לגדודי עתודאים מעלי מלפני מאחורי ומצדדי, רומסים את גופתי הדוויה כדי לתפוס מקום להם ולחבריהם.
(ניתן לשמור מקום לחבר עתודאי על ידי קלסר, מחק, עיפרון ובמקרים קיצוניים באמצעות חידודים של עיפרון)

למה? כי רון אהרוני, כמובן.
בנסיבות אקדמיות או חברתיות?

הצצתי בספר היום (אצל אמא מחינוך ביתי, כמובן (-; ).
בהחלט עורר חשק לקרוא (אני בתור, אחריה).

בנסיבות אקדמיות
_{לאור הנאמר לעיל תבשיל קדרה לא מגלה את גילהּ בקורס הראשון בו נתקלה בנ"ל}

תבשיל? וואללה? לא רואים עלייך!
<יוחנן מותח את זרועו אל מול תבשיל קדרה הוירטואלית, עוצם עין ימין ומודד עם בוהן אנכית ואז אפקית>
לא התכוונתי להישתלח במגזר. אחדים מידידיי הטובים...

(And it's not that there is anything wrong with that)

כרמית - לא. יוחנן קלע קרוב יותר.

אגב, אני חית לנקות אותנו מההאשמה:
1 - אני לא שמרתי יותר ממקום אחד, וזה היה בד"כ ללא-עתודאים, ובכל אופן - לא הייתי נגועה באובססית השמירה, כי למדתי בפקולטה קטנה בה, תכלס, היו מקומות קבועים

.
2 - אחי הלא-עתודאי-בעליל כן שמר.

12 היה סימון לגיל זערורי, קטן מעשרים... (-;
<כרמית לא חבשה את ספסלי הטכניון מעודה (למעט נוער שוחר מדע), כי הם לא היו פצועים>

זה המקום לדבר על האירוח של פרפ' רון אהרוני בתפוז, לא?
הנה השרשור כולו

האמת? לא היה מאוד מענין.
חלק גדול מהדיון הוקדש (כמו שתוכנן) לענין שיטת הלימוד בספרי מתתמטיקה יסודית ("הסינגפורית", שבכלל לא מועתקת מסינגפור), ולהתקפות אישיות/שאלות פוליטיות על למה מחליטים כך או אחרת (עם רון ונגדו).
תוכן ההודעה הנ"ל:

בעיני זו לא שיטה. אלו ספרים. וספרים מעולים. אינני מכיר את דרכי הוראתם בסינגפור, וגם לא חשוב לי כל כך. לחברי העמותה שלנו יש גישה חינוכית מוגדרת היטב, שהספרים מתאימים לה מאוד. עקרונות הגישה הם:

יציאה מן המוחש
דגש על המשמעות של פעולות החשבון (מתי עושים פעולה, לפני איך מחשבים אותה). לימוד המשמעות נעשה תוך שימוש בעצמים (פריטי מנייה), ציורים חשבוניים וסיפורים חשבוניים.
ניסוחים מדויקים ומפורשים, שמגיעים מן הילדים מתוך דיון משותף.
עבודה עם כל הכיתה יחד. המורה מפעילה את כל הכיתה, במשך חלק גדול מן השיעור. כל הילדים נמצאים באותו מקום בחומר.

כל זה מתאים ביותר לרוח הספרים, שגם הם יוצאים מן המוחש, מדגישים משמעות, ומעודדים סיפורים חשבוניים שהילדים מספרים.*

היו כמה שאלות (מטעם אמהות) עסקו ב"מה עושים עם ילד שלא מצליח ללמוד XYZ", או "מה אעשה עם ילדי המחונן".
עוד קצת על "האם לדעתך יש ללמד בבית הספר..." (לא מרוכבים ביסודי, לא טופולוגיה בתיכון, כן גאומטריה אוקלידית, כן ניתן להגביר קצב
מה עוד?
דיון על יצירתיות (אהרוני אומר שזה מולד, ולא ניתן לפתח. הפתיע אותי).
התבאסות משותפת מרמת התלמידים בארץ - כלומר ממגמת הירידה ברמה זו (אומר שרואים את זה על סטודנטים).
היו כמה התיחסויות משעשעות אל רון כאל "האיש הרע" בנושאים שלא קשורים אליו כלל ("אתה המצאת את הבדידים? זה דפק לי את הלימודים!", "אז למה משרד החינוך עוד לא...").

סוגיה מענינת מאוד (לי) היתה - חינוך מתמטי (כלומר מחקר של חינוך מתמטי), פסיכולוגיה, הוראה, מתמטיקה - מי מהעוסקים בתחומים אלה מתאים כדי ללמד ילדים מתמטיקה.
רון אומר - פסיכולוגיה - היא "סיפור כיסוי" לכל מיני אנשים. מתמטיקאים - לא קשורים. אנשי חינוך מתמטי - בכלל לא מבינים בזה. ומאידך - מי שמבין את הילדים ודרכי החשיבה שלהם הן רק מורות מנוסות ("בעזרת שכל ישר"). לכן, לדעתו (ובניסוחי), הכי טוב לשחרר אותן מורות מפובית המתמטיקה שלהן, כך שהן יוכלו ללמד ילדים כמו שצריך.
עוד הוא אומר שלמידה בכיתה שלמה עדיפה על למידה בקבוצות, משום שילדים בכתות נמוכות לא מצליחים ממש ללמוד בקבוצות, אלא במקרה הטוב לתרגל, במקרה הרע לריב (אני מניחה שאילו לכל קבוצה היתה מורה משלה, תשובתו היתה שונה).

אה, אגב - השורה התחתונה שלי? אף אחד לא יצליח לדפוק את לימודי המתמטיקה של הילדים הפרטיים שלי. אפילו לא חמותי שאמרה לי שלדעתה הגדול היה משתלב יופי בגן (-; (לא נסיון שכנוע, וגם אני נמנעתי מלתאר לה מה אני חושבת שהיה קורה לו).

תבשיל, סחתיין על התקציר והפרשנות.

דיון על יצירתיות (אהרוני אומר שזה מולד, ולא ניתן לפתח. הפתיע אותי).

טוב, זה כבר נושא בפני עצמו, לא רק במתמטיקה . (יצירתיות נרכשת ?)
אני בתחושה שיצירתיות היא בתוך טווח מולד שכל אחד חותם עליו בלידה.
ופיתוח היצירתיות יכול להיות אצל כל אחד במסגרת הטווח. (או לא להתממש מסיבות סביבתיות)
את יכולה ללמוד לנגן פסנתר פרימה ויסטה, אבל לאלתר כמו תלוניוס מונק - נו, רק מונק יכול.
<ואני, לא את זה ולא את זה

>
מצד שני, ייתכן שהתחושה שלי מושפעת מכך שאני לא מכיר שיטה "אובייקטיבית" לפיתוח יצירתיות.

ואם רק הייתי חושב על הרעיון היצירתי של יונת לבקש מ-תבשיל קדרה תקציר במקום להישאר ער עוד שעה...
<סתם מקטר, אם או בלי תקציר הייתי קורא אתמול את הכל>

אחותי, שבאה לארץ לחודש עם 2 בניה וחזרה לחו"ל, סיפרה לי רק אתמול שקנתה את הספר הזה ומאוד מאוד התרשמה ממנו לטובה וממליצה עליו.

לדעתי, גידול ילדים לפי עקרון הרצף מאפשר לילדים להיות יצירתיים וטובי לב - ודיינו בכך.

תבשיל, תודה!
רון אהרוני גדול מהחיים. ולגבי יצירתיות: אולי היצירתיות מולדת, אבל אפשר לדכא אותה בחינוך. וראו גם ללמד סקרנות.

(ניתן לשמור מקום לחבר עתודאי על ידי קלסר, מחק, עיפרון ובמקרים קיצוניים באמצעות חידודים של עיפרון)

חידודים של עיפרון? לא חבל על שחיקת מפרק היד, כשאפשר פשוט להניח דף מהקלסר על כל שורת הכיסאות כולל הכסא לשמאליים, ואז ליתר ביטחון גם על השורות מעל ומתחת לשורה שלך?
זו היתה השיטה בביולוגיה, לפחות.

<אמא אינקובטור מחכה שפרופ' צבי מזא"ה יכתוב ספר דומה על פיזיקה>
<אמא אינקובטור היתה משוכנעת שפיזיקה זה הדבר הכי קשה בעולם ואין לה שום סיכוי להבין אותה, עד הקורס של פרופ' מזא"ה>

אפשר לדבר כאן על הנושא של הספר חשבון להורים, או חשבון והורים, בלי קשר לספר (אם כי מחר נלך לספרייה ונחפש אותו)?
היום ישבתי עם הבת, שקיבלה שיעורי בית (כיתה ב') בחשבון, שעתיים של עצבים (מצדי) ותסכול (מצדה). לא, תיקון: שתינו יצאנו עצבניות ומתוסכלות.
עכשיו, אני מעולם לא הייתי טיפוס של מורה, בוודאי לא לילדים קטנים. אבל קשה לי להסביר לה דברים כשאני לא יודעת בעצמי איך אני מגיעה למסקנה.
דוגמה: ברחוב חבצלת 20 בתים. אמן קרמיקה מכין את המספרים, כשלכל ספרה הוא משתמש באריח אחד.
א. לכמה אריחים סה"כ יזדקק?
ב. כמה אריחים שעליהם הספרה 1 הוא יצייר?
אז נחמד שמביאים דוגמאות מ"החיים האמיתיים" ולא תרגילים "סתם". אבל איך הייתם מסבירים את ההגעה לתרגיל/חישוב?
אבן נגף גדולה היתה הבלבול בין "ספרה" ל"מספר". עקרונית היא מבינה את ההבדל (ענתה מיד שבמספר 13 יש שתי ספרות). אבל ראיתי שמפריע לה.
המדיניות העקרונית שלי היא להניח לה את שיעורי הבית, ולא היינו מעורבים בהם כמעט אף פעם. אני עוברת על המחברות והספרים אחת לכמה ימים, ורואה שהיא עושה את הכל ונדיר שהיא טועה. אז אולי קשה לה להתרכז בבית? אבל מה, בכיתה עם עוד 30 ילד קל יותר? אולי בבית היא "מרשה לעצמה" מה שבביה"ס - לא? אולי היתה קפיצה פתאומית ברמת החומר? אבל ראיתי דף שפתרה בימים האחרונים, שגם הוא נראה לי לא פשוט, והיו שם 20 תרגילים וכולם נכונים... או שקל לה עם תרגילים, וקשה להגיע לתרגילים מבעיות?
אשמח לשמוע תובנות והתנסויות.

אבל איך הייתם מסבירים את ההגעה לתרגיל/חישוב?
כותבת את כל שורת המספרים 1..20, ומתחילה משם. גם אם מה שיהיה זה שהיא תספור כדי להגיע לתשובה, זה בסדר בעיני.

משהו שאהבתי מאוד שרון אהרוני כתב באירוח - שאלו אותו איך לעזור לילדה עם בעיות מילוליות, והוא הציע לתת לה לחבר בעיות כאלה. (למצוא לך או תצליחי לבד? בקשי אם לא).

תודה תבשיל קדרה. קראתי את התשובות שלו בשרשור. כחלק משיעורי הבית היא צריכה להמציא בעיות כאלה בעצמה - לא הספקנו להגיע לזה היום בגלל ההתעסקות בקרמיקה.
מעצבן אותי לראות שהיא סופרת כדי להגיע לתשובה. לא מדברת על הדוגמה הספציפית מתוך הבעיה, אבל נניח - 13 + 6. "אפילו" 12 + 9. היא יכולה לחשב בראש - בשנה שעברה שיחקנו בפתרון תרגילים כאלה תוך כדי נסיעות, היום כנראה היתה עייפה ולא מרוכזת, וחזרה לספור.
כדי להגיע ל-כמה אריחים שעליהם הספרה 1 הוא יצייר? ציירתי לה את כל המספרים בקצף גילוח על שפת האמבטיה (כבר נהיה מאוחר אז המשכנו באמבטיה, בלי החוברת). אבל עדיין הייתי צריכה למשוך אותה באף עד לתשובה.
נראה לי שהיום אזקוף את העניין לחובת העייפות, ושעון החורף החדש. נראה איך יהיה מחר. יש לה שעה חופשית בבוקר (הכיתה הולכת ללימודי שחייה, שפטרתי אותה מהם), וסיכמנו שתמשיך אז. נעדכן.

אנא, עזרו לי לנסח במילים את מה שאני יודעת:

כשמכפילים שבר בשבר - חצי בשליש, למשל, כופלים מונה-במונה-מכנה-במכנה. פשוט.
למה כשמחברים שברים לא מחברים מונה-במונה-מכנה-במכנה, מה שרוב הילדים עושים אינטואיטיבית? (אני לפחות פתרתי הרבה בעיות באופן אינטואיטיבי שהתברר כמוטעה...)

אני יודעת למה - כי ה-1 במונה הוא לא כמות אלא יחס, ואי אפשר לחבר שני יחסים שונים. אבל איך מסבירים את זה לילד?

_אבל איך הייתם מסבירים את ההגעה לתרגיל/חישוב?
כותבת את כל שורת המספרים 1..20, ומתחילה משם. גם אם מה שיהיה זה שהיא תספור כדי להגיע לתשובה, זה בסדר בעיני._

לא יותר פשוט לומר כך:
יש ברחוב 20 בתים, נניח מראש שלכל בית דרושים שני אריחים. 20X2=40.
עכשיו, לבית שמספרו חד-ספרתי יהיה דרוש רק אריח אחד. כמה בתים כאלה יש? (מ-1 עד 9 יש 9 בתים). 40-9 = 31

לא יותר פשוט לומר כך:
לא, זו דרך עקיפה. זו דרך שטובה מאוד למי שממציא אותה בעצמו, אבל היא טכנית, מבלבלת, ולא מובנת למי ש"מנחיתים" עליו את הדרך הזאת.
[למרות שזו דרך מצוינת למי שכבר יש תפיסה של 20 אריחים או 20 מספרים, או מספרים מ 1 עד 10, ומ 10 עד 20].

אני אגיד לך למה זה בסדר בעיני שהיא תספור כדי להגיע לתשובה. זו מסוג ההתנסויות שמאפשרות ליצור כללים בעצמך. בדומה ללראות עשרות כלבים, ומכאן לדעת מה זה כלב גם ללא הגדרה.

למה כשמחברים שברים לא מחברים מונה-במונה-מכנה-במכנה
לדעתי ה 1 במונה הוא בהחלט כמות. כמות של שברים. שני שלישים, חמש שביעיות וכו'. אי אפשר לסכום שלישים עם שביעיות, כי כל אחד מהם מיצג משהו אחר. כמות אחרת.

מעצבן אותי לראות שהיא סופרת כדי להגיע לתשובה. [...] בשנה שעברה שיחקנו בפתרון תרגילים כאלה תוך כדי נסיעות, היום כנראה היתה עייפה ולא מרוכזת, וחזרה לספור.
או שהיא הייתה פחות בטחה בעצמה, אז היא חזרה לשיטה הבטוחה. מאוד הגיוני מצידה.

למה כשמחברים שברים לא מחברים מונה-במונה-מכנה-במכנה
כמה שני תפוזים ועוד שלושה תפוזים? כמה זה שני בתים ועוד שלושה בתים? כמה זה שתי שביעיות ועוד שלוש שביעיות?
(ואת ההסבר למה בכפל שברים מכפילים את המכנים נשאיר כאתגר לקורא... >:))

למה כשמחברים שברים לא מחברים מונה-במונה-מכנה-במכנה

כמה שני תפוזים ועוד שלושה תפוזים? כמה זה שני בתים ועוד שלושה בתים?

נו, וכמה הם שני תפוזים ועוד שלושה בתים?
המכנה נקרא כך ("מכנה") מפני שאיננו מבטא כמות אלא הוא כינוי לסוג הפריט.

עדי

הייתי מדפיס דף A4 שמכיל שורות של ספרות וגוזר אותו ל"אריחים" של ספרות (אפשר באמצעות אקסל, מקבלים מסגרת חינם לכל ספרה).
כך ניתן ממש לשחק את השאלה, וזה קצת יותר מודולרי מקצף גילוח (-; .
גם אני חושב שלספור אריחים זה בסדר גמור.

אמאינקובטור,

למדתי גם בטכניון וגם בת"א. אין מה להשוות. טכניקות שמירת המושב בטכניון זו ליגה אחרת.
תועדו מקרים קשים של אנשים שהיו נכנסים לשבת בהרצאה לא להם מ8-9 כדי לשבת בשורה ראשונה בהרצאה המבוקשת של 9-10 ..

ועוד משו שאהרוני מדגיש בספר (בפרשנות חופשית שלי):
יש משהו מהותי שמבדיל מתמטיקה מתחומים אחרים. כשקוראים ספר וחסרה מילה, מסיקים מההקשר והחוסר בד"כ יהיה "בטל בשישים".
כשאנחנו מנסים להסביר נושא או לפתור שאלה במתמטיקה ומדלגים על שלב ביניים שנראה לנו טריוויאלי (לעיתים שלא במודע), איבדנו את הצד השני והוא יישאר תקוע שם.
נראה לי שנוסחת הזהב היא למצוא את מספר השלבים הנחוץ (שנראה לי פונקציה גם של הנושא אבל בעיקר של ה הסטוריה של התלמיד והכרותנו איתו)
מבלי לגלוש לפירוק מוגזם שיאבד לנו את הקהל מהכיוון השני של עודף אינפורמציה.

הייתי מדפיס דף A4 שמכיל שורות של ספרות וגוזר אותו ל"אריחים" של ספרות (אפשר באמצעות אקסל, מבקבלים מבגרת חינם לכל ספרה).
גזרתי מנייר אריחים וכתבנו מספרים על חלקם. איבדתי את הסבלנות אחרי שהיא לא הבינה אחרי דוגמאות ספורות שאפשר להסיק על כל עשרים הבתים בלי להכין 31 אריחים (זו התשובה, אגב, למי שלא פתר עד עכשיו (-; ) עם כל הכבוד, היו עוד כמה וכמה שאלות שחיכו בתור. מתחילים מחיפוי אריחים, אח"כ נצטרך להכין גן חיות וקלמר מלא כלי כתיבה (אלה השאלות שטרם הגענו אליהן), ומה נאכל לארוחת ערב בקצב הזה? (-:

אבל מסעדה,
אם היא לא תגזור 31 אריחים, לא יהיה לה בסיס על-סמכו להסיק בפעם הבאה!

לגבי ארוחת ערב - אפשר לספור חתיכות של מלפפון ועגבניה, אפשר לסדר תירסים כאילו היו אריחים וכו' (-;

אפשר לספור חתיכות של מלפפון הכי קל אם חותכים את המלפפון לעיגולים.

אבל מסעדה,

אבל מסעדה,

[-:
להשאיר? לערוך?

להשאיר? למה לא?

מעצבן אותי לראות שהיא סופרת כדי להגיע לתשובה. [...] בשנה שעברה שיחקנו בפתרון תרגילים כאלה תוך כדי נסיעות, היום כנראה היתה עייפה ולא מרוכזת, וחזרה לספור.

אם היא לא תגזור 31 אריחים, לא יהיה לה בסיס על-סמכו להסיק בפעם הבאה!

זהו, בדיוק חשבתי, עדי:
מה הבעיה עם הספירה?
אני אפילו מעודדת את זה. במיוחד אחרי שקראתי את ג'ון הולט. זה נראה לי הבסיס.
והאמת - כשאני רוצה להיות מאוד בטוחה במצבים כאלה, אני בעצמי סופרת. ואת מדברת עם אחת שקיבלה 10 בבגרות במתמטיקה מורחבת וכמה שנים טובות אחרי זה גם לימדה תלמידים לבגרות במתמטיקה.

<ותבשיל, קראתי כלאחר יד ובכלל הייתי מפספסת אילולא הדגשת את זה (-; >

אני קוראת עכשיו את הפרק של הולט על לימוד מתמטיקה, וגם לי נראה שהספירה היא הקרקע הממשית של הילד להבנה. לימוד הדרך 'הנכונה' היא המסלול שמאבד הרבה ילדים. אם נותנים לה את הקרדיט שהיא 'ממציאה' את המתמטיקה מחדש -ספירה היא תרגול או מצויין. או שהיא תגיע להכללה או שהיא תשאר ב'שפה' שמובנת לה - בכל מקרה היא תגיע לתשובה.

מתחילים מחיפוי אריחים, אח"כ נצטרך להכין גן חיות וקלמר מלא כלי כתיבה (אלה השאלות שטרם הגענו אליהן), ומה נאכל לארוחת ערב בקצב הזה?

אם בקערת האורז יש 300,000 גרגרים, ואני מוציאה מהקערה כף אורז שבה 500 גרגרים לשישה סועדים (כף לכל סועד, כלומר) - כמה גרגרים יישארו לנו לסושי של מחר?

אפס -- בשביל סושי צריך אורז טרי!

ואפרופו,
כבר מצאו את נמו

<ממתין לסקילה>

למה סקילה?

כי שוסי זה חמץ, לא?

מהשתגיד.

גם אנחנו שקועים ב"חשבון להורים".
(בננו אמנם תופס כיסא סטנדרטי למשעי בכיתה תקנית לגמרי בבי"ס יסודי מן המנין, אבל במתמטיקה אנחנו ב"חינוך ביתי", כדי לאפשר לו להתקדם בלי לדלג כיתה).
לענין ספרה ומספר - עברית שפה קשה! באנגלית הרבה יותר קל להבחין בין digit לבין number (אם כי אז מתבלבלות האצבעות, שגם להן קוראים לעיתים digits...)
כשלומדים חשבון משתמשים ב"מחברת חכמה", שמקלה על הילד ללמוד כתיבה תמה, אבל גם מאפשרת הבחנה ברורה בין הספרות במספר.
ילדים שחוזרים לכיתה ב' אחרי חופשה ארוכה מעולם האותיות והמספרים חוזרים לאחור במיומנויות בסיסיות. בני, למשל, ידע בסוף שנה"ל הקודמת לפתור תרגילי "חיבור ארוך", אבל בתחילת השנה הזו, אחרי שהזנחנו בכוונה את התרגול במהלך החופשה (היו לנו עניינים חשובים יותר בחצר האחורית) הוא פתר אותם משמאל לימין במקום מימין לשמאל, כלומר חיבר קודם את המאות, אח"כ את העשרות ולבסוף את האחדות, מה שיצר מן הסתם סמטוכה מלבבת על הדף.
בתחילת כיתה ב' אכן יש ציפיה מן הילדים "לשלוט בע"פ במיומנויות חיבור וחיסור בעשרת הראשונה והשניה", כלומר לא להזדקק לחשבוניה או אצבעות הידיים והרגליים. ילד שאינו שולט, צריך לאמן אותו, ולעזור לו להגיע לשליטה.
אפשר לנסות להדגיש את ההבדל בין העשרת הראשונה, שבה המספרים מיוצגים ע"י ספרה אחת, לבין אלו שבאות אחריה.

חיבר קודם את המאות, אח"כ את העשרות ולבסוף את האחדות, מה שיצר מן הסתם סמטוכה מלבבת על הדף, אבל כנרהא עם הרבה יותר סדר בראש. זו נראית לי שיטה הרבה יותר אינטואיטיבית.

הבת שלי יודעת לקרוא ולכתוב, בלי ניקוד ובכתב, וחשבון וגם אנגלית מעניינת אותה וספרדית קצת - ואף אחד לא מאמן אותה ולא עוזר לה להגיע לשליטה בשום דבר.
כשהיא שואלת אנחנו עונים בקצרה.
היא נהנית! היא אוהבת את החיים שלה. טוב לה. טפו-טפו-טפו.

זו נראית לי שיטה הרבה יותר אינטואיטיבית
אכן.
צורת החישוב מהקטנים לגדולים היא טכניקה שבאה לקצר למינימום את מספר צעדי החישוב שנובעים מהנשא.
כשאני מחשב בעל פה אני בד"כ מתחיל מהמספרים הגדולים ועובר לקטנים, למרות שעכשיו כשאני חושב על זה,
לפעמים בחיבור של מספרים כמו 1453 ו 2658 אני עשוי לעשות סמטוכה ולחבר קודם את אלה שמתחברים יפה (אסטטי?):
600+400 אח"כ 50+50 אח"כ 2000+1000 , לסכם הכל ורק בסוף להוסיף את 8 + 3.
ולמה שלחבר 600+400 קופץ לי לראש לפני 1000+2000. לא יודע. ככה יצא.

זו נראית לי שיטה הרבה יותר אינטואיטיבית
אז זהו, שלפעמים האינטואיציה דופקת את הטכניקה, וחשבון של ביה"ס היסודי הוא לא מעט טכניקה, וטכניקה זה דבר שצריך לתרגל.
נשאלת השאלה, האם ילד שרק מתחיל ללמוד מתמטיקה צריך לחבר בראש מספרים "גדולים" כמו 1453 ו 2658, או שמראש הוא צריך "להבין" שבשביל לחבר מספרים כאלו הוא זקוק לדף ועפרון?

לדעתי - כמו ילד שיורד מדרגות. לפעמים הוא מבקש יד, לפעמים הוא מעדיף לבד (גם אם זה בזחילה).

האם ילד שרק מתחיל ללמוד מתמטיקה צריך לחבר בראש מספרים "גדולים" כמו 1453 ו 2658
ממש לא לזה התכוונתי.
כוונתי הייתה שאני יכול להבין מאיפה בא החישוב מהגדול לקטן ולהעיד על עצמי,
ולא להאדיר אינטואיציה על פני טכניקה.
אני חושב שמערכת היחסים בין אינטואיציה לטכניקה היא מעט סבוכה יותר מאשר יחס של
יותר חשוב/פחות חשוב.

שלפעמים האינטואיציה דופקת את הטכניקה, וחשבון של ביה"ס היסודי הוא לא מעט טכניקה, וטכניקה זה דבר שצריך לתרגל.
מסכים בהחלט.

להשאיר? לערוך?
תודה על כל התגובות. בטח שלהשאיר...
טוב, אז הבנתי שאני מצפה ליותר מדי, ושהייתי רוצה שתגיב כמו הילד של יעל צ, למרות שהיא לא. ובמפגש אחר הבנתי שפשוט גם היו הרבה יותר מדי שיעורים לאותו יום, ושאלת האריחים היתה מספיקה בהחלט. אעביר את המסר הזה למורה.

שאלה מכיתה ג'. שלוימל'ה לקח מספר (עד מאה), הוסיף לו 23, החסיר ממנו 15 וקיבל 81. מהו המספר? הצלחתי להתבלבל ולבלבל בנסיון להגיע לכלל. בדיעבד נראה לי שהיה נכון להפוך את התרגיל למספרים עד עשר - ושם לחפש את הכלל. איך הופכים שאלה כזו למוחשית?

איך הופכים שאלה כזו למוחשית? אני הייתי מנסה:
אמא הביאה 4 תפוחים מהשוק והניחה אותם בקערת הפירות, ויוסי לקח מהקערה 2 תפוחים לבית הספר. בקערה נשארו 7 תפוחים. כמה תפוחים היו בקערה בהתחלה?
הפיתרון: כדי למצוא את התשובה נבקש מיוסי להחזיר את 2 התפוחים לקערה (עכשיו יש בה 9=7+2 תפוחים) ומאמא להוציא את 4 התפוחים שהביאה מהקערה (ואז ישארו בקערה 5=9-4 תפוחים).

אולי קודם לקחת כל מיני מספרים, מוסיפים להם 23, ומחסירים מהם 15.
(אפשר לרשום שורות כאלה, למשל - 10, 33, 18).
זה רק כדי להבין מה קורה פה בכלל.

בעקרון - מה שמחפשים פה זה להפוך את התרגיל - להסתכל עליו מהסוף להתחלה.
בסוף יש 81, ולפני כן החסירו 15, אז מה היה שם? וכו'
אבל כדי להבין למה עושים ככה, זה רעיון מצוין לעבוד עם מספרים קטנים, בהם הילד רואה את כל התמונה, ולא מתבלבל מרוב טריקיות.

אגב,
יכול להיות שהדרך שילד ינסה לגשת לזה זה לנחש, לבדוק, להגדיל את המספר או להקטין אותו בהתאם לצורך.
זה "עם הראש בקיר", אבל למה לא, בעצם?

ב דחילו, מה אומר תלמיד ג' שלך?

ה"כלל" האינטואיטיבי שלי הוא, להפוך את הסדר, ללכת מהסוף להתחלה, ולהפוך כל חיסור לחיבור וכל חיבור לחיסור:
קודם מוסיפים 15 ל-81
אח"כ מפחיתים 23
ומגיעים לתוצאה 73

אינטואיטיבית, אני לא בעד לפשט מתחום המאה לתחום העשר ולייצר דוגמא מוחשית בגיל הזה, אבל אין לי סיבה "אמיתית" למה זה לא נראה לי...

כמובן שההדגשה לעיל מיותרת לגמרי...

אינטואיטיבית, אני לא בעד לפשט מתחום המאה לתחום העשר ולייצר דוגמא מוחשית בגיל הזה
כאשר אני מנסה להבין בעיה מתמטית אני בדרך כלל עושה זאת על ידי בנית דוגמא מוחשית עם מספרים פשוטים. לדעתי השיטה הזאת צריכה לעבוד בכל גיל.
<אני מרגיש קצת לא בנוח לחוות דעה כי הילד שלי בינתיים רק לומד לספור, ואין לי כל ניסיון מעשי עם ילדים בגילאים יותר גדולים.>

היום שאלתי אותו - ילד אחד קיבל 3 קלפי פוקמון חדשים והפסיד במשחק 4 קלפים. עכשיו יש לו בחבילה 5 קלפים. כמה היו לו בהתחלה? הוא מיד חישב - 6. שאלתי אותו איך הוא חישב - אז הוא הסביר משהו שלא ניסיתי לנתח: 'זו אותה תשובה'. אני מניחה שהוא הפך את הסימנים וחמש ועוד ארבע פחות שלוש שווה לשש ועוד שלוש פחות ארבע, אלא שכאן זה לא היה מופשט עבורו.

אני מרגישה שנכון לעבור למספרים קטנים כי מספרים גדולים פחות נתנים לתפיסה והילד מוטרד מהחיבור והחיסור שלהם ולא רואה את השאלה.

_ואפרופו,
כבר מצאו את נמו
<ממתין לסקילה>_
ואני פותחת את הקישור הזה, והקטנה שלי מזדעקת: "אוי, זה אבא של נמו! מה זה ששמו אותו בתוך?"
אני מנסה להתעלם, והיא ממשיכה בשלה "מה זה אמא? מה זה ששמו את אבא של נמו בתוך?"
ואני אומרת לה שזה אוכל כזה עם אורז, והיא ממשיכה "אורז ששמים בתוכו דג ליצן?"

אוי, יוחנן! הרגת אותי!

ואם כבר חשבון...
לפני זמן מה נסענו לביתה של עידית ק לקחת ארנבונים.
בדרך הביתה רעות ג שאלה אותי: "אמא, את חושבת שכולם נקבות?" (בגורים קשה מאד לבדוק את המין)
ואני שאלתי אותה: "מה נראה לך?"
היא אמרה שכנראה שניים הם זכרים ושתיים הן נקבות, ואז אני הגבתי ואמרתי שחסר לנו נתון, והוא - כמה זכרים וכמה נקבות היו בשגר.
והוספתי: "נניח שהיו חמש נקבות וחמישה זכרים -
מה הסיכוי שהארנב הראשון שנוציא יהיה נקבה? חמש מתוך עשר."
ואז המשכתי בלי לחשוב הרבה ואמרתי: "כשנוציא את הארנב השני, הסיכוי שהוא יהיה נקבה יהיה ארבע מתוך עשר"
"לא, אמא", תיקנה אותי בוגרת כתה א', "הסיכוי יהיה ארבע מתוך תשע!"

טוב, נו.
בתי בת השבע מתקנת את שגיאותי בסטטיסטיקה והסתברות...
נראה לי שכדאי שאתפטר וזהו...

לגבי הדוגמאות, צריך להיות עם יד על הדופק, ולא ליצור זיהוי חזק מדי של השאלה עם דוגמא ספציפית.
(כמו בדוגמא של אהרוני בספר על הילד ששייך פעולת חלוקה לדוגמת חלוקת הפיצה שהופכת להיות בעייתית כבר בחלוקה ל-5)

שרון ג
כבר בגיל כזה את משכנעת אותה שסושים זה הדג ?

כבר בגיל כזה את משכנעת אותה שסושים זה הדג? ?
גדול!

היא בת 3.5 ועדיין לא יצא לה לטעום סושי. טונה היא דווקא מאד אוהבת...
<בעצם גם את נמו, אבל לא בפיתה...>

יש לי קושיה חדשה.
בחוברת של משימות חקר בחשבון (מכיתה ג' ואילך) מופיעה הבעיה הבאה:
"העורב לקחן אסף חרוזי זכוכית אדומים וצהובים.
ידוע:
א. מספר החרוזים האדומים גדול ממספר החרוזים הצהובים.
ב. מספר כל החרוזים קטן מ-10.
שאלה 1: מהו המספר הקטן ביותר של חרוזים שיכול לקחן לאסוף? נמקו.
שאלה 2: כמה חרוזים יכול לקחן לאסוף (כתבו את כל האפשרויות)?"
במקביל, מעמיקים בשיעורי שפה בהבנת הנקרא בעניני זכר ונקבה, יחיד ורבים, ושאר דקויות.
לפיכך, בני הבינתחומי קבע, שהפיתרון לשאלה הראשונה הוא 5 (=2+3) ובסעיף "נמקו" הוא כתב: חרוזים זה ברבים, אז המספר הקטן ביותר של חרוזים צהובים הוא 2, ואדומים - 3 (במקור נכתב: "המיספר החי קתן של חרוגים הצהובים הם 2 כי אמרו חרוגים..." חייבים לעשות משהו עם שגיאות הכתיב האלו!)
ופה כמובן שהתפתח דיון בכיתה, שעבר למרבית הילדים מעל לראש, והמורה כמובן קיבלה את התשובה שלו כנכונה, למרות שהתשובה הנכונה מבחינה מתמטית היא 1+2=3.
נשאלת השאלה, איך מפרידים את המתמטיקה מהשפה שבה היא נדונה? ניסיתי לתת דוגמאות: "כמה שולחנות יש בפינת האוכל?" "כמה קרטוני חלב יש במקרר?" "כמה זוגות אופניים יש לך" - שאלות שהתשובה עליהן היא "1", למרות שהשאלה נשאלת ברבים. מיותר (?) לציין שעדיין לא הצלחתי "לשכנע" אותו... (אבל לפנינו 11 ימי חופשה!)

למרות שהתשובה הנכונה מבחינה מתמטית היא 1+2=3.
ולמה לא, למשל, 1+0=1?
אם את לא לוקחת את העברית ומשליכה ממנה שחייבים להיות חרוזים צהובים, את בהחלט יכולה לקחת "אפס" חרוזים צהובים וחרוז אדום אחד...
אם את משליכה מהעברית - אנא השליכי גם את השימוש ברבים...
אפרופו, במשפט חרוזי זכוכית אדומים וצהובים אפשר להתייחס למילה "חרוזים" כמכוונת לכלל החרוזים, ולא רק לצבע ספציפי. (וכך יהיו 2+1 חרוזים, או חרוגים...מה שבא לבן שלך).
אני מצליחה להבהיר את עצמי או שאני סתומה?
<מלשון "לא בהירה", אבל כרגע גם מרגישה את עצמי סתומה גם במובן השני...>

מיותר (?) לציין שעדיין לא הצלחתי "לשכנע" אותו
קחו ילד שהוא לא מכיר. אם תשאלו אותו "כמה אחים יש לך?" התשובה יכולה להיות אחד, או אפילו אפס ועדיין השאלה היא ברבים.

והמורה כמובן קיבלה את התשובה שלו כנכונה
כל הכבוד לה. יש מורות רבות שלא היו מקבלות...

אני מצליחה להבהיר את עצמי או שאני סתומה?
ודאי שמצליחה! וגם צודקת מבחינה מתמטית טהורה. ברגע שאנחנו מנסים לפשט בעיה, להמחיש אותה, אנחנו מוותרים על יוניברס של תשובות אפשריות-אך-לא-בעולמנו, כי הן "לא הגיוניות" בהינתן הדוגמא המוחשית. אני חושבת, אם אני לא מתבלבלת...
נראה לי שדור שלם של ילדים והוריהם עוד יעמוד מתוסכל מול בעיות החקר האלו. טוב, נו, לפחות יהיה את מי להאשים בתוצאות ה"מיצב" בעוד כמה שנים (-;

נראה לי שדור שלם של ילדים והוריהם עוד יעמוד מתוסכל מול בעיות החקר האלו
רק נראה לך.
רוב הילדים והוריהם לא ייתקלו בכלל בשאלות האלה, כי לא יהיו מספיק נבונים כדי לחשוב על האפשרות האחרת הקיימת לפתרון.

אנחנו מוותרים על יוניברס של תשובות אפשריות-אך-לא-בעולמנו, כי הן "לא הגיוניות" בהינתן הדוגמא המוחשית.
אפשר הסבר למשפט הזה? באמת לא הבנתי.

טוב, איכשהו הדף הזה חמק מעיני.
אבל לא לעולם חוסן

אני הכרתי את פרופסור רון אהרוני כאשר אני הייתי בן 17 והוא עוד לא היה פרופסור.
זה התחיל במשלחת לאולימפיאדה הבינלאומית במתמטיקה, והמשיך כאשר הוא העביר קורס חידות מתמטיות לנערים שלא הספיק להם מה שהם למדו בבית הספר, ואהבו מתמטיקה.
הקורס היה בפקולטה למתמטיקה שבטכניון, נמשך כשעה וחצי או שעתיים וחצי (אינני זוכר היום), נערך פעם בשלושה שבועות, ואני הייתי נוסע באוטובוסים כארבע שעות בכל כיוון כדי להשתתף בקורס.
אין מורים רבים שיכולים לרשום לזכותם נסיעה של שבע או שמונה שעות (הלוך + חזור) כדי להשתתף בקורס של פחות מחצי הזמן, באופן סדיר.
אחר כך, כאשר למדתי מתמטיקה, רון היה מרצה שלי בשני קורסים.
תחומי העניין שלו נעים ממתמטיקה, דרך תחומים אזרחיים ועד למקורן הביולוגי של הבעות הפנים (הרצאה מרתקת שלו, ששמעתי במרתף 10).
בהמשך הדרך עסקנו בתחום אידיאולוגי קרוב.
לאחרונה ביקשתי לגייס את רון לפעילות בנושא האידיאולוגי ההוא, והוא התנצל והסביר שהוא עסוק מעל הראש בפרוייקט של הוראת המתמטיקה לילדים.
אני יודע שקיימת מחלוקת משמעותית בנושא דרך ההוראה של המתמטיקה, ובמחלוקת הזו רון וקבוצה ההולכת איתו מנסים לקדם את לימוד המתמטיקה בישראל.
אני בעדו הן כי אני מכיר את רון ואת הבנתו, והן כי לפי מיטב שיפוטי - הדרך הזו נכונה.

אשר לספרים: עברתי כמעט על כל מה שראיתי באתר שלהם.
יש שם המון עקרונות נכונים, אשר חלק מהם ניסחתי בעבר בעצמי, ואחרים, הרוב, ראיתי והצדקתי.
ההתרשמות שלי היא שאת העקרונות האלה גיבשו אנשים אשר מבינים היטב מהי הוראת מתמטיקה.

דוגמא לעקרון (בניסוח שלי - להם יש ניסוחים אחרים): כל עקרון מתמטי שנותנים לו דוגמאות, יש לתת לפחות שלוש דוגמאות מתחומים שונים, כדי למנוע יצירה של זיקה בין הדוגמא לבין העקרון, וכדי שהעקרון ייתפס כהכללה של הדוגמאות.
יישום נכון של העקרון הזה יגיד שאסור ללמד חיבור רק עם בדידים, אלא יש להוסיף לפחות עוד שתי דוגמאות, וגם בבדידים צריך יותר מערכה אחת (עם צבעים שונים לאורכים שונים), כך שלא ייוצר זיהוי בין צבע הבדיד לבין המספר.

בספרים לילדים יש לא רק עקרונות טובים. גם הביצוע טוב, וההתרשמות שלי היא שהם עשויים בהחלט לגרום לפריצת דרך אצל הילדים.

את הספר החדש עדיין לא קראתי.

עודד, על איזו עמותה מדובר והאם אפשר לקשר בינם לבין מורה או בית ספר?

אפשר הסבר למשפט הזה? באמת לא הבנתי.
הסבר קצת קשה לי, אבל הנה דוגמא מהחיים:
"בכיתה 36 ילדים, והמורה רוצה לחלק אותם לקבוצות עבודה זהות בגדלן. כמה צירופים אפשריים יש?"
עכשיו, כשאתם חושבים על מרחב הפתרונות, האם "36 קבוצות של ילד אחד בכל קבוצה" נכלל בהן? (האם יכולה להיות קבוצה בעלת איבר אחד בלבד? במתמטיקה כן, בחיים - לא כ"כ)
מה לגבי "18 זוגות"? ("זוג" זה לא "קבוצה", זה זוג...)
ומה עושים עם קבוצה ריקה?

NS]לקניית הספר בסטימצקי GetProdInfo[/po].asp?prodid=11660685

ביקורות קוראים בסטימצקי:

זיו: מקסים ומרתק
עינת: הספר כתוב בצורה בהירה ונעימה לקריאה.
מרתק. מחכה להמשך לגבי נושאים של חטיבת הבניים.

משולחנו של המוציא לאור
"חשבון להורים - ספר למבוגרים על מתמטיקה של ילדים" מתאר בצורה בהירה ובסגנון קולח את עקרונות החשבון המהווים שער לחשיבה מופשטת ופתח להשתלבות בחיים המודרניים. ההסברים הפשוטים, המבוססים על התנסות ישירה ומוחשית ועל לימוד שיטתי, יסייעו לילדים להשתלט על לימודי החשבון. הספר דן בנושאים כמו ארבע פעולות החשבון הבסיסיות - חיבור, חיסור, כפל וחילוק - וכן בחישובי שברים, באחוזים ובבעיות יחס. אלה מוסברים בדרך קלה ומובנת, החושפת את יופיה ועומקה של החשיבה המתמטית. הספר עשוי לעזור להורים המעוניינים להשתתף באורח פעיל בלימודי החשבון של ילדיהם. כן נועד הספר לחובבי מתמטיקה, המוזמנים לבחון את הנושאים שלמדו בילדותם מזווית חדשה, ללמורים, לתלמידי מכללות להכשרת מורים ולאנשי חינוך.

עדי יותם,

_דוגמה: ברחוב חבצלת 20 בתים. אמן קרמיקה מכין את המספרים, כשלכל ספרה הוא משתמש באריח אחד.
א. לכמה אריחים סה"כ יזדקק?
ב. כמה אריחים שעליהם הספרה 1 הוא יצייר?
אז נחמד שמביאים דוגמאות מ"החיים האמיתיים" ולא תרגילים "סתם". אבל איך הייתם מסבירים את ההגעה לתרגיל/חישוב?_

בעזרת הרבה מאד דוגמאות.
ראשית, שלושה בתים.
אחר כך שמונה.
בזאת נגמר השלב של אריח לכל בית:
עשרה בתים - ודיון על מספר האריחים. ספירה.
אחד עשר. אחר כך שלושה עשר.
רק אז עשרים.
אם צריך - עוד דוגמאות.
עכשיו לשאול כמה אריחים צריך לאריח התשעים, והתשעים וחמישה, וה- 99, וה- 100.

עדי יותם,

מעצבן אותי לראות שהיא סופרת כדי להגיע לתשובה. לא מדברת על הדוגמה הספציפית מתוך הבעיה, אבל נניח - 13 + 6. "אפילו" 12 + 9. היא יכולה לחשב בראש

אם היא סופרת זה אומר שהיא צריכה לספור.
יכול מאד להיות שהחיבור לא יושב אצלה מספיק יציב. העובדה שהיא חיברה לפני שנה לא אומרת שהחיבור שקע כהלכה. אני מכיר גם מהנדסים שהחיבור לא שקע אצלם.
הפתרון לדעתי הוא להכיר בזה, ולשים דגש על החיבור בכל פעם כזו. ואם היא עוברת לדבר על חיבור - אז ללכת איתה, ולחזק את החיבור שלה.

אמא אינקובטור,

_כשמכפילים שבר בשבר - חצי בשליש, למשל, כופלים מונה-במונה-מכנה-במכנה. פשוט.
למה כשמחברים שברים לא מחברים מונה-במונה-מכנה-במכנה, מה שרוב הילדים עושים אינטואיטיבית? (אני לפחות פתרתי הרבה בעיות באופן אינטואיטיבי שהתברר כמוטעה...)_

זו שגיאה וזו טעות:
בחיבור שברים, לחבר מונה למונה ומכנה למכנה זו שגיאה: מקבלים את התוצאה הלא-נכונה.
בכפל שברים, להכפיל מונה במונה ומכנה במכנה זו טעות, כי אמנם מקבלים את התוצאה הנכונה, אבל לא מבינים למה. עושים את זה בצורה מכאנית, והתוצאה היא שמנסים להפעיל את אותו התהליך על חיבור שברים.
האינטואיציה כאן היא שגויה, ויש לשרש אותה: זו אינטואיציה מכניסטית, לא אינטואיציה של מהות השבר.
למעשה שבר הוא פתרון תרגיל חילוק. חמש תשיעיות הוא הפתרון של התרגיל חמש חלקי תשע, או של תרגיל כפל עם נעלם: מה נכפיל בתשע ונקבל חמש:
x = 5:9
9x = 5

עכשיו, האפשרות להכפיל 5/9 ב- 7/12 נובעת רק מהסיבה הבאה:
אם מכפילים שווים בשווים מקבלים שווים
כלומר:
נניח ש
x=5/9
y=7/12

אז הרישום כמשוואה יתן:
9x=5
12y=7
מותר לי להרחיב את המשוואה השניה בחמש.
להרחיב בחמש זה אומר לכפול כל אחד מהצדדים בחמש.
המשוואה הראשונה אומרת שאם אני כותב 9x זה בדיוק כאילו כתבתי 5: הם שווים.
לכן נרחיב את המשוואה השניה בחמש, על ידי זה שנכפול כל אגף באגף המתאים לו במשוואה הראשונה. (זו הנקודה העמוקה כאן, וזו המשמעות של לכפול שווים בשווים. אני מקווה שהצלחתי להסביר אותה).
אז נקבל (אני משתמש בסימן T בשביל כפול)
12TyT9Tx=5T7
נסדר את האגף המסובך ונקבל
12T9xy=5T7
או, אם נחלק ב 12 כפול 9, נקבל
xy=5T7/12T9

זו, ורק זו, הסיבה שאפשר להכפיל מונה במונה ומכנה במכנה.
לעומת זאת, נסיון להפעיל את אותו הטריק על חיבור יניב:
12y+9x=5+7
ומכאן אין אפשרות לבודד את x+y.

העמותה

ב דחילו,

שאלה מכיתה ג'. שלוימל'ה לקח מספר (עד מאה), הוסיף לו 23, החסיר ממנו 15 וקיבל 81. מהו המספר? .... איך הופכים שאלה כזו למוחשית?

ראשית, זו שאלה של שני צעדים. אין להגיע אליה לפני שהילד משתלט על שאלות של צעד אחד (עוד אחד מהעקרונות של השיטה הסינגפורית: לא לדלג על שלבים).
דוגמא לשאלה של צעד אחד:

רמת קושי חיבור דו-ספרתי: ירמחיאל לקח מספר עד מאה, הוסיף לו 23 וקיבל 45. מהו המספר? (רמת קושי חיבור חד ספרתי זה עם 8 במקום 23 - קצת יותר קל).
רמת קושי חיסור דו-ספרתי: זרובבל לקח מספר עד 100 וחיסר ממנו 42, וקיבל 51. מהו המספר?

רק אחרי שהילד מרגיש נח עם שאלות של שלב אחד אפשר לעבור לשאלות של שני שלבים.

אשר להפיכה למוחשית - לפי העקרון שצריך לפחות שלוש דוגמאות מתחומים שונים, כדי שהילד יבין את העקרון במנותק מהדוגמאות:
ספירה**: אוטובוס יצא עם מספר מסויים של נוסעים. בתחנה הראשונה עלו 23, בתחנה הבאה ירדו 15, אז ספרו עליו 81 נוסעים. כמה נוסעים היו בהתחלה?
מדידה**: היה חבל אדום באורך מסויים. חיברו אותו לחבל ירוק באורך 23 מטרים. מהקצה האדום של החבל המחובר חתכו 15 מטרים. אורך החבל האדום-ירוק בסוף היה 81 מטרים. מה היה אורך החבל האדום בהתחלה.
דרך**: חילזון התחיל מגובה מסויים על קיר. הוא טיפס ביום 23 סנטימטרים והחליק בלילה 15 סנטימטרים. בסוף הלילה הוא היה בגובה 81 סנטימטרים. באיזה גובה הוא התחיל את המסע?

ואפשר כמובן דוגמאות של כסף, בלטות שמכסה השטיח ובלטות שיש בחדר נוסף ועוד.

ב דחילו,

עודד, על איזו עמותה מדובר והאם אפשר לקשר בינם לבין מורה או בית ספר?

העמותה לקידום החינוך המתמטי לכל

אמא שלו,

ומה עושים עם קבוצה ריקה?

הקבוצה הריקה לא תפריע כאן, כי אין דרך לחלק 36 ילדים לקבוצות ריקות בלבד.

נורית ועודד - תודה על הכתובת.

רק אחרי שהילד מרגיש נח עם שאלות של שלב אחד אני מודה שמי שהתבלבלה היתה אני. בהתחלה מהרתי לחסר 23-15, ומיד לא הייתי בטוחה שכדאי לעשות זאת ככלל (לחבר או לחסר את ההפרש מ 81). במעבר למספרים חד ספרתיים החלטתי שקל יותר להפוך את הסימנים כדי להגיע לכלל. אני מציינת את ה'דרך' שבה התלבטתי כי אחרי מחשבה נראה לי שאני נלחצתי ובני, לאחר שהשאלה נשאלה באופן מוחשי, הבין אותה מיד.

עודד - סימן השאלה לא מאפשר לי לכתוב תודה בדף הבית שלך, אז:

תודה.

הקבוצה הריקה לא תפריע כאן, כי אין דרך לחלק 36 ילדים לקבוצות ריקות בלבד
מסכימה, אך מה לגבי הדוגמאות האחרות?

אני לא רואה בעיה עם השאר.
בואי ננסח את אותה השאלה בלי המלה "קבוצות":
בכיתת השיקויים יש 36 תלמידים.
סנייפ רוצה לקנות לכיתה קדרות, כך שעל כל קדרה יעבדו תלמידים באותו המספר.
מהם המספרים של קדרות שאפשר לקנות, וכמה תלמידים יעבדו עם כל קדרה בכל אחד מהמקרים?

כך אין ספק שאפשר לקנות גם קדרה אחת, ואפשר לקנות גם 36 קדרות.

בואי ננסח את אותה השאלה בלי המלה "קבוצות":
אבל זה בדיוק הענין, זה שיעור שנועד ללמד את מושג הקבוצה!!!
אני זוכרת את עצמי בשיעורי אלגברה ליניארית לתואר ראשון, נפגשת לראשונה בחיי עם המושג "קבוצה" כמושג "טהור", בלי קשר לפעילות חברתית או ספורטיבית, תנועת הנוער או ההתישבות העובדת...
<האם הדוגמאות שמשתמשים בהן בשיעורי מתמטיקה דופקות לפעמים את הבנת המתמטיקה?>

במקרה כזה אני מקדים שלושה מונחים:
הקבוצה כולה* (במקרה זה 36 תלמידים). נקראת גם "הקבוצה האוניברסלית".
יחידון* (קבוצה של אבר אחד). אני מעורר דיון האם זו קבוצה, ובסוף פוסק שאצלנו זו נחשבת קבוצה.
הקבוצה הריקה*. שוב, אני מעורר דיון, ובסיומו אני פוסק שאצלנו זו נחשבת קבוצה, ושיש רק אחת כזו, כי זהות של קבוצות נבחנת בזהות אבריהן.

עכשיו אפשר לשאול את השאלה קודמת, ולהוסיף בסוף "כולל הקבוצה הריקה, הקבוצה האוניברסלית ויחידונים".

זה בדרך כלל פותר את הבעיה.
במקרים מסויימים יש להקדיש גם תשומת לב לקבוצות של שנים. אז מקדישים.
בכל אופן, זו בעיה סטנדרטית בלימוד, אשר נובעת מההבדל בין המשמעות של המונח "קבוצה" ו"קבוצה חלקית" במתמטיקה, לבין משמעותו בחיי יום-יום.
כאשר יש הבדל כזה, יש ללבן את משמעות המונחים כפי שאנחנו מתשמשים בהם, ולהכיר בכך שבחיי יום יום השימוש עשוי להיות אחר.

אפשר גם לעשות טבלא, שעמודותיה הן:

תכונה
קבוצה במתמטיקה
קבוצה בלשון יום יום.

ואז להראות שקבוצה במתמטיקה חלה גם על יחידונים, ובלשון יום יום לא בטוח, וקבוצה חלקית במתמטיקה זו גם הקבוצה כולה, ובלשון יום יום לא בטוח.

שוב, אני מעורר דיון, ובסיומו אני פוסק

מה זה 'קבוצה חלקית'?

שאלה לא קשורה של אובד עצות - זה ספר חשבון להורים עשירים או עניים?

ב דחילו,

מה זה 'קבוצה חלקית'?

הגדרה: אם כל אבר ב- A הוא גם אבר ב- B, אז A היא קבוצה חלקית של B.
דוגמא:
נהוג לכתוב קבוצה בתוך סוגריים מסולסלים.

אם
{{ A = {1,3,4,5,6} }}

ואם B היא קבוצת המספרים הקטנים משבע
ואם C היא קבוצת המספרים האיזוגיים,
אז A היא קבוצה חלקית של B (או תת-קבוצה של B), כי כל המספרים ב- A הם גם ב- B (כי הם קטנים מ- 7),
אך A אינה קבוצה חלקית של C (כי יש בה שני מספרים זוגיים, שאינם ב- C).
ואם

{{ D={1,3,5} }}

אז D היא קבוצה חלקית ל-A.

כמה נקודות קצה:

הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה.
כל קבוצה היא קבוצה חלקית לקבוצה עצמה.
כאשר רוצים לדבר על קבוצה חלקית אשר אינה מכילה את כל האברים של הקבוצה הגדולה יותר, אז מדברים על קבוצה "חלקית ממש".

ואידך זיל גמור בקורס תורת הקבוצות.

זה ספר חשבון להורים עשירים או עניים?

הספר עולה שישים שקלים באינטרנט.

> עודד מסרב להבין רמזים הקשורים לכת הקיוסאקית <

רגע, אני מצטער, אבל בכל זאת, בתור הורה מודאג זה חשוב לי לדעת - אם אני אלמד את הפוחחים שלי את הספר יש סיכוי שיהיו עשירים ויעלו לגדולה?

(אלי שבשמים, עשה שיחזירו תשובה חיובית)

תגידו, אני היחידה שבטוחה בכל פעם שהעין שלה נתקלת בשם הדף שהוא מתעסק בחשבון שילדינו עתידים להגיש לנו בעוד כך וכך שנים, למה עשיתם לנו ככה ולמה לא עשיתם לנו אחרת?

עודד לבנת,
סיכוי כזה קיים גם בלי הספר.
לא נראה לי שהספר מגדיל במיוחד את הסיכוי שמישהו יהפוך לעשיר בכסף. זו גם לא הכוונה של זה. זה רק ישפר את ההבנה המתמטית שלהם, ובעיני זה עושר רוחני משמעותי (אבל פעמים רבות, כאשר אני מנסה לדבר עם אנשים על היופי במתמטיקה, אני מרגיש כמו מישהו שמנסה לתאר זנב של טווס באוזניו של עיוור מלידה).
בשביל לעשות יותר כסף עדיף לחנך אותם לכסף. אם אתה מחפש ספרים טובים בנושא, אפשר להתחיל עם "מה המנכNS]ל רוצה שתדע GetProdInfo[/po].asp?prodid=11531795 (אבל גם שם צריך לדעת להכפיל

)

אם אני אלמד את הפוחחים שלי את הספר יש סיכוי שיהיו עשירים ויעלו לגדולה אולי כדאי יותר שתלמד אותם לשחק כדורגל.

אולי הם יכנסו למהדורה הבאה של "הוצא מהקשרו" www.cs.tau.ac.il/students/shtuyot/out%2 ... ontext.doc